Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita.
Desigualdades de primer orden.
Las desigualdades de primer orden o lineales, son aquellas que la incógnita es de grado 1, es decir que tiene exponente 1. Para resolver una desigualdad de primer orden se debe despejar la incógnita.
Si al despejar la variable existe esta tiene un coeficiente negativo, se invierte la desigualdad.
Ejemplo 1:
6x – 10 > 3x + 5
6x – 3x > 5 + 10
3x > 15
x > 15/3
x > 5
El intervalo de solución es (5, ∞)
Ejemplo 2:
3x + 4< 4x - 2
3x - 4x<-2 -4
-x < -6
x > 6
El intervalo de solución es (6, ∞)
Observa la siguiente applet para ver mas ejemplos de desigualdades de primer orden.
Da click en paso para ver la solución paso a paso. Da click en otro para pasar a otro ejemplo.
Desigualdades de segundo orden.
Las desigualdades cuadráticas pueden tener uno o dos intervalos de solución si ésta toca o corta al eje x como si se tratase de una ecuación cuadrática, sólo que sus soluciones son intervalos y no números concretos. Si la ecuación cuadrática corta al eje x tiene dos soluciones; si sólo toca el vértice tiene una solución; de lo contrario las soluciones serán imaginarias. Los cuatro posibles casos que se pueden presentar en una ecuación cuadrática son los siguientes.
2. Identificar los intervalos
Con los puntos críticos, dividimos la recta numérica en intervalos:
3. Elegir puntos de prueba
Elegimos un punto de prueba en cada intervalo y evaluamos la expresión x2−9
4. Conclusión
Los intervalos donde la desigualdad x2−9>0 se satisface son (−∞,−3)(3,∞)
Por lo tanto, la solución es:
¿Por qué elegimos esos números de prueba?
Cuando estamos resolviendo una desigualdad, como (x2 - 9 > 0), necesitamos verificar qué intervalos de la recta numérica satisfacen esa desigualdad. Para hacer esto, seguimos estos pasos:
- Encontramos los puntos críticos: Primero, encontramos los puntos en los que la expresión se iguala a cero. En este caso, (x2 - 9 = 0) nos da (x = -3) y (x = 3). Estos puntos dividen la recta en intervalos.
-
Dividimos en intervalos: Los puntos críticos dividen la recta en tres intervalos:
- ( -∞, -3)
- (-3, 3)
- (3, ∞ )
-
Elegimos un número de prueba en cada intervalo:
- Para el intervalo (-∞, -3), elegimos (x = -4):
- Este número está claramente en el intervalo y es fácil de calcular.
- Para el intervalo (-3, 3), elegimos (x = 0):
- También está en el intervalo y su cálculo es muy sencillo.
- Para el intervalo (3, ∞), elegimos (x = 4):
- De nuevo, está en el intervalo y es fácil de manejar.
- Para el intervalo (-∞, -3), elegimos (x = -4):
-
Evaluamos la expresión: Calculamos (x2 - 9) para cada uno de los números de prueba:
- (x = -4) da (7 > 0) (satisface la desigualdad).
- (x = 0) da (-9 < 0) (no satisface la desigualdad).
- (x = 4) da (7 > 0) (satisface la desigualdad).