Samenstellingen van trillingen

Uitstap naar de natuurkunde
Geluidsgolven kunnen wiskundig voorgesteld worden als een combinatie van sinusgolven. Elke musicale klank is samengesteld uit verschillende sinusgolven van de vorm [i]y(t) = a sin(ω t + φ)[/i].[br][br]De amplitude [i]a[/i] beïnvloedt het volume van de klank, terwijl de frequentie [i]ω[/i] de toonhoogte bepaalt. De parameter [i]φ[/i] noemt men "fase" en duidt een verschuiving van de klank aan in de tijd.[br][br]Wanneer sinusfuncties interfereren treedt er 'superpositie' op. Dit betekent dat de sinusgolven elkaar versterken of verzwakken. We kunnen het verschijnsel simuleren met GeoGebra om speciale gevallen te onderzoeken die zich ook in de natuur voordoen.
Tonen van de samenstelling
Opdracht
[table][tr id=boolslider][td]1.[/td][td][icon]https://tube.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon][/td][td]Creëer drie schuifknoppen [i]a_1, ω_1[/i] en [i]φ_1[/i] en gebruik de standaardinstllingen.[br][/td][/tr][tr][td][br][/td][td][br][/td][td][u]Tips[/u]: De invoer [i][code]_1 [/code][/i] creëert een index [sub]1[/sub]. [br]Je typt een Griekse letter door je de cursor in het tekstveld [i]Naam [/i]te plaatsen en rechts in het tekstveld op de letter [math]\alpha[/math] te klikken. Uit een lijst met Griekse letters kan je nu de gewenste letter kiezen.[/td][/tr][tr id=tool_g][td] 2.[/td][td][icon]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/4/40/Menu_view_algebra.svg/120px-Menu_view_algebra.svg.png[/icon][/td][td]Voer de sinusfunctie g(x)= a_1 sin(ω_1 x + [i]φ[/i]_1) in.[br][/td][/tr][tr][td]3.[/td][td][icon]https://tube.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon][/td][td]Creëer drie schuifknoppen [i]a_2, ω_2[/i] and [i]φ_2[/i], weer met de standaardinstellingen.[br][u]Tip[/u]: Je kunt schuifknoppen in het tekenvenster verslepen wanneer in de knoppenbalk de knop [i]Schuifknop[/i] geactiveerd is.[/td][/tr][tr id=toolh][td]4.[/td][td][icon]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/4/40/Menu_view_algebra.svg/120px-Menu_view_algebra.svg.png[/icon][/td][td]Voer de functie h(x)= a_2 sin(ω_2 x + φ_2) in.[/td][/tr][tr id=tool_sum][td]5.[/td][td][icon]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/4/40/Menu_view_algebra.svg/120px-Menu_view_algebra.svg.png[/icon][/td][td]Creëer de som van beide functies som(x) = g(x) + h(x).[/td][/tr][tr][td]6.[/td][td] [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/d/db/Stylingbar_icon_graphics.svg/32px-Stylingbar_icon_graphics.svg.png[/img][/td][td]Gebruik de [i]Opmaakwerkbalk[/i] om de kleur van de functies en de schuifknoppen zo te wijzigen dat functies en overeenkomstige schuifbalken dezelfde kleur hebben.[/td][/tr][/table]
Verkenningen
Onderzoek de invloed van de parameters op de grafiek van de sinusfuncties door de waarden van de schuifknoppen te wijzigen. Bepaal [i]a[sub]1[/sub] = 1, ω[sub]1[/sub] = 1 [/i]en [i]φ[sub]1[/sub] = 0[/i] en beantwoord volgende vragen:[br]
Voor welke waarden van [i]a[sub]2,[/sub] ω[sub]2[/sub][/i] en [i]φ[sub]2[/sub][/i] heeft de som een maximale amplitude als [i]a[/i][sub][i]1[/i][/sub][i]=1, ω[/i][sub][i]2[/i][/sub] = 2 and [i]φ[sub]2[/sub][/i] = 0 ? [u][br]Opmerking[/u]: In dit geval heeft de resulterende toon een maximaal volume.[br]
Voor welke waarden van [i]a[sub]2[/sub], ω[sub]2[/sub][/i] en [i]φ[sub]2[/sub][/i] heffen de functies elkaar op? [u][br]Opmerking[/u]: In dit geval hoor je geen toon meer.[br]

Information: Samenstellingen van trillingen