Propositie 9
Een gegeven hoek in twee gelijke delen verdelen
(de constructie van de bissectrice)
Inleiding
In propositie 9 toont en bewijst Euclides de constructie van de bissectrice. Deze constructie leer je in het tweede middelbaar. Het is een mooi voorbeeld van hoe Euclides verder bouwt op wat hij al heeft bewezen. Elk nieuw resultaat steunt op eerder bewezen resultaten. Vertrekken van wat je al weet en via logische stappen iets nieuws bewijzen, wordt deductie genoemd.
Voor deze constructie steunt hij op propositie 1 (gelijkzijdige driehoek construeren), propositie 3 (een lijnstuk afsnijden) en propositie 8 (congruentiekenmerk ZZZ).
Oude versie
Een gegeven rechtlijnige hoek middendoor delen.
de hoek BAC is de gegeven rechtlijnige hoek. Het is dus vereist deze te halveren.
Neem een willekeurig punt D op AB. Snijd van AC het lijnstuk AE af gelijk aan AD. (prop 3)
Teken DE en construeer op DE de gelijkzijdige driehoek DEF. (prop 1)
Teken AF. (post 1)
Omdat AD gelijk is aan AE en AF gemeenschappelijk is, zijn de twee zijden DA en AF gelijk aan de twee zijden EA en AF. De basis DF is gelijk aan de basis EF. Dus is de hoek DAF gelijk aan de hoek EAF. (prop 8)
De gegeven rechtlijnige hoek BAC is dus gehalveerd door de rechte lijn AF.