somformules voor sinus en cosinus
grafisch bewijs
Volgend applet vertrekt van de definitie van sinus en cosinus in een rechthoekige driehoek.
De somregel voor sinus en cosinus wordt afgeleid oor stapsgewijs driehoeken bij te plaatsen en de lengte van de zijden te berekenen. Volg stapsgewijs de afleiding via de navigatiebalk.
constructie
- Bepaal in twee schuifknoppen de hoeken en
- Teken een eerste rechthoekige driehoek met in de oorsprong.
- Teken een tweede rechthoekige driehoek zodat je de hoeken en kunt optellen.
- Stel de lengte van de schuine zijde van de tweede driehoek gelijk aan 1.
- De lengte van de aanliggende rhz van is dan .
- De lengte van de overstaande rhz van is dan .
- In de eerste driehoek is de lengte van de aanliggende rhz . de lengte van de schuine zijde.
- De lengte van de overstaande rhz is dan . de lengte van de schuine zijde.
- Teken een derde rechthoekige driehoek door de overstaande rhz van te verlengen.
- Noteer dat een eerste hoek gelijk is aan (hoek tussen loodrechten op zijden die bepalen = ).
- Bereken de lengte van de aanliggende rhz van .
- Bereken de lengte van de overstaande rhz van .
- Voeg een vierde rechthoekige driehoek toe om de rechthoek te vervolledigen.
- Noteer de grootte van de hoek bovenaan als (= een verwisselende binnenhoek van ).
- De lengte van de aanliggende rhz van noteren als een cosinus.
- De lengte van de overstaande rhz kan je noteren met een sinus.
formules
In een rechthoek zijn de overstaande zijden gelijk. Je kan dus aflezen dat
en
.
Merk op dan negatief kan zijn. Hieruit lees je de de verschilformules en af.
Merk hierbij op dat .