VARIAÇÃO DO PARÂMETRO "b"

INTRODUÇÃO

Nesta seção, analisaremos a influência do parâmetro em uma função polinomial de segundo grau. Os demais coeficientes, e , serão mantidos fixos em valores arbitrários, sem perda de generalidade, para que possamos observar com clareza o comportamento da função quadrática conforme o coeficiente varia.Vamos investigar o que ocorre com o gráfico da função quando , e . Dentre os três parâmetros , e , o parâmetro é o que causa mais confusão para os estudantes, desse modo, vamos analisar o mesmo com bastante cautela. Combinado?Abaixo, você verá a função quadrática na forma padrão:

.

Os coeficientes e estarão fixados em intervalos que serão explícitos na área gráfica. Seu objetivo é variar o coeficiente e registrar uma breve análise sobre o comportamento do gráfico quando o parâmetro for manipulado. Após as variações, você deverá ser capaz de responder: [1] O que acontece com a posição do vértice da parábola? [2] A concavidade da parábola muda quando varia? [3] O gráfico se desloca para qual direção quando aumenta? e quando diminui, o que acontece? [4] O eixo de simetria sofre alteração? [5] O valor de interfere na abertura da parábola? [6] O que acontece com as raízes da função quando varia? [7] O parâmetro altera mais a posição horizontal ou vertical da parábola? [8] O que todas as funções possuem em comum?

Assim, nesse viés, para responder tais indagações, vamos para as variações. Mas antes, não esqueça: LEIA ATENTAMENTE AS RECOMENDAÇÕES!

Para auxiliar você, estudante, a observar o sinal do parâmetro em uma função quadrática, foi traçada uma reta tangente ao gráfico da função passando pelo ponto , que corresponde ao ponto onde o gráfico intercepta o eixo .

A reta tangente traçada nesse ponto nos ajuda a perceber uma característica muito importante: a inclinação dessa reta está diretamente relacionada ao coeficiente . Em outras palavras, ao variar o valor de , a inclinação da reta tangente também se altera, permitindo visualizar de forma mais clara o efeito desse coeficiente no comportamento da função. A partir dessa ideia, você conseguirá observar com mais tranquilidade o que acontece com o gráfico da função ao variar o valor de , descrevendo suas principais características independentemente dos valores escolhidos para e . Agora, observe atentamente os gráficos apresentados abaixo e realize uma análise crítica dos três casos que analisaremos: quando , e Assim, analise cada gráfico procurando identificar semelhanças e diferenças no comportamento da parábola, bem como, a reta tangente (descrita em verde). Sem mais conversa, vamos lá!



,

com , (sem perda de generalidade) e

No GeoGebra abaixo, faça alterações no parâmetro , considerando valores menores que zero, e descreva, abaixo, o seu entendimento sobre o comportamento da curva. Seu objetivo será investigar: [1] O que acontece com a posição do vértice da parábola quando ? [2] A parábola continua com a mesma concavidade? [3] O eixo de simetria se desloca para qual lado do plano cartesiano? [4] O valor de altera a abertura da parábola? [5] O que acontece com as raízes da função quando assume valores negativos? [6] O gráfico sofre deslocamento horizontal, vertical ou ambos? [7] O que todas as funções desse caso possuem em comum? [8] Observe a reta tangente (reta vermelha) em diferentes pontos da parábola. Como sua inclinação varia quando ? [9] Repita a análise para . O que muda em relação ao caso anterior? [10] O que acontece com a inclinação da reta tangente ao passar pelo vértice da parábola? [11] Existe alguma relação entre a concavidade da parábola e o sinal da inclinação da reta tangente antes e depois do vértice? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

No GeoGebra abaixo, faça alterações no parâmetro , considerando valores maiores que zero, e descreva, abaixo, o seu entendimento sobre o comportamento da curva. Seu objetivo será investigar:

No GeoGebra, altere os valores de e , observando diferentes gráficos da função. Considere valores positivos e negativos para esses parâmetros e registre suas conclusões. Seu objetivo será investigar: [1] O que acontece com a posição do vértice quando o valor de é alterado? [2] O que acontece com a concavidade da parábola quando o valor de é alterado? [3] O que acontece com a abertura da parábola quando modificamos o valor de aaa? [4] O eixo de simetria muda de posição quando variamos e ? Justifique. [5] Onde o vértice da parábola está localizado em relação ao eixo ? [6] O gráfico sofre deslocamento horizontal, vertical ou ambos quando alteramos ccc? [7] Como as raízes da função são afetadas pelas variações de e ? [8] Em quais situações a função possui duas raízes reais, uma raiz real ou nenhuma raiz real? [9] O que acontece com a interseção da parábola com o eixo quando varia? [10] Observando todos os gráficos construídos, quais características permanecem sempre iguais quando ? [11] Onde está localizado o ponto em que a reta tangente é horizontal? [12] Qual a relação desse ponto com o eixo ? [13] O que isso sugere sobre o eixo de simetria das funções da forma ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Agora, passaremos a resolver alguns exercícios sobre os conceitos vistos anteriormente nas variações. Desse modo, responda calmamente às questões abaixo: