Exponentialfunktionen und ihre Graphen

Autor:michi.schneider

Aufgabe Die Beobachtung einer Bakterienkultur auf einer Nährlösung ergibt: Zu Beginn nehmen die Bakterien eine Fläche von 1000 mm² ein. Die Fläche vergrößert sich pro Stunde um ca. 45%. Es sein A(n) der Inhalt dieser Fläche nach n Stunden.

Berechne die Fläche nach n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Stunden mit Hilfe der Tabellenkalkulation des Geogebra-Applets. Trage dazu in dem Feld B2 die entsprechende Formel ein und fülle die Felder bis B7 mit dieser Formel aus.
Übertrage die Punkte in Koordinatensystem, indem du die Felder A2 bis B7 markierst - rechte Maustaste - Erzeugen - Liste von Punkten
Beobachtungen zeigen, dass das Zellwachstum ein kontinuierlicher Prozess ist und somit am Besten durch eine Funktion f(t) mit t beschrieben wird. Gib die passende Funktion in die Eingabezeile in Geogebra ein und überprüfe, ob alle Punkte am Graph der Funktion liegen.

Fortsetzung: Die Bakterienkultur ist bereits 7000 mm² groß Man stellt fest, dass durch Zugabe eines Antibiotikums die Bakterien absterben, wobei die Fläche jede Stunde um etwa 35 % kleiner wird. Es sei A(n) der Inhalt dieser Fläche nach n Stunden.

Berechne die Fläche nach n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Stunden mit Hilfe der Tabellenkalkulation des Geogebra-Applets. Trage dazu in dem Feld B2 die entsprechende Formel ein und fülle die Felder bis B7 mit dieser Formel aus.
Übertrage die Punkte in Koordinatensystem, indem du die Felder A2 bis B7 markierst - rechte Maustaste - Erzeugen - Liste von Punkten.
Beobachtungen zeigen, dass das Zellwachstum ein kontinuierlicher Prozess ist und somit am Besten durch eine Funktion f(t) mit t beschrieben wird. Gib die passende Funktion in die Eingabezeile in Geogebra ein und überprüfe, ob alle Punkte am Graph der Funktion liegen.

Definition Eine reelle Funktion f:

mit f(x) = c . a^x

heißt Exponentialfunktion mit der Basis a. Aufgabe: Untersuche mit dem Applet Eigenschaften der Exponentialfunktion: Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = a^x in Abhängigkeit von a. Untersuche die Symmetrie, d.h. wie muss die Basis b gewählt werden, sodass g(x) = b^xund f(x) = a^x symmetrisch um die 2. Achse sind. Die Spur des Punktes E zeigt den Verlauf des Graphen der gespiegelten Funktion. Bestimme einen Zusammenhang zwischen b und a! Bestimme den Fixpunkt, der auf dem Graphen aller Funktionen f(x) = a^x liegt.

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