Transformacions ISOMÒRFIQUES

Tema/es:
Semblança
Les transformacions isomòrfiques, són aquelles en que els angles d'ambdues figures són iguals, però les seves longituds són diferents, però mantenen una relació de proporcionalitat entre els costats homòlegs. Dins d'aquests tipus de transformacions hi ha a semblança, l'homotècia, l'equivalència i les escales.
SEMBLANÇA Dues figures planes són semblants, o proporcionals, quan tenen els angles iguals i els costats proporcionals i amb el mateix ordre. Els elements que es corresponen en una figura original i la seva semblant s'anomenen homòlegs, La relació de proporcionalitat que hi ha entre segments homòlegs s'anomena raó de semblança. La Raó de semblança, anomenada k, seria semblant a la raó de l'homotècia, és la proporció entre la longitud de dos segments homòlegs, el semblant entre l'original. Si k =1 la figura semblant és igual o idèntica a l'original. Si k >1 la figura semblant és més gran que l'original. Si k <1 la figura semblant és més gran que l'original, SEMBLANÇA DE TRIANGLES Dos triangles són semblants si es verifiquen algun d'aquests tres criteris:
  • Dos triangles són semblants si tenen els tres costats proporcionals.
  • Dos triangles semblants tenen dos angles iguals.
  • Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats que el formen són proporcionals.
SEMBLANÇA DE POLÍGONS Dos polígons amb el mateix nombre de costats són semblants si:
  • Quan estan compostos pel mateix nombre de triangles semblants i disposats de la mateixa manera.
  • Quan tenen tots els angles iguals i els costats proporcionals n-2.
  • Quan tenen iguals n-2 angles consecutius i són proporcionals els n-1 costats que es comprenen.
  • Quan dos polígons són regulars amb el mateix nombre de costats.
Us deixo un parell de documents per veure els criteris de semblança de l'Autor: Ceferino A., traduit al català.
HOMOTÈCIA Donats un punt O i un nombre real (k) diferent de zero, una homotècia és la transformació geomètrica que fa correspondre a un punt A un altre punt A', alineat amb A i amb O, tal que: la proporció OA'/OA=k.
  • O és el centre d'homotècia.
  • k és la raó d'homotècia, és la que defineix la proporcionalitat entre segments homòlegs. Aquest valor k pot ser positiu (homotècia directa) o negatiu (homotècia inversa)
  • Dos punts homotètics, A i A', estan sempre alineats amb el centre d'homotècia.
Si la longitud dels segments OA i OA' els mesurem en sentits diferents respecte O, considerem les longituds una positiva i l'altre negativa, per tant, la raó d'homotècia serà positiva quan els dos punts A i A' estiguin en el mateix sentit respecte O i negatiu quan el centre O estigui entre tots dos. HOMOTÈCIA DIRECTA Es diu que una homotècia és directa, quan la raó de proporcionalitat (k) o d'homotècia entre dos segments és positiva, és a dir, el centre d'homotècia esta en un extrem si mirem l'alineació entre dos punts homotètics OAA' o OA'A. HOMOTÈCIA INVERSA Es diu que una homotècia és inversa, quan la raó de proporcionalitat (k) o d'homotècia entre dos segments és negativa, és a dir, si alineem dos punts homotètics, el centre d'homotècia esta enmig, AOA' o A'OA. REDUCCIÓ O AMPLIACIÓ segons el valor de k (raó d'homotècia) Si 0 direm que la mida de la figura transformada és més petita que la original. Si k=1 la figura transformada i la original són idèntiques. Si k>1 direm que la mida de la figura transformada és més gran que la original. Si els valors de k són negatius, la mida de la figura serà el mateix que amb valors positius però la figura estarà a l'altre costat del centre d'homotècia.

PROPIETATS DELS PUNTS HOMOTÈTICS

Desplaça el centre d'homologia O, el punt A o modifica el valor de k amb el punt lliscant. Observa com es modifica el punt A' i contesta les preguntes.
  • Quina relació hi ha entre k i les posicions de A i A'
  • On està el punt A' quan k<0 ?
  • On està el punt A' si -a<k<1 ?

PROPIETATS DE RECTES HOMOTÈTIQUES

Desplaça el centre d'homologia O, el punt A i B o modifica el valor de k amb el punt lliscant. Observa com es modifiquen les rectes s i s' i contesta les preguntes.
  • Com són les rectes s i s' ?
  • Què passa quan la recta s passa pel centre d'homologia ? com se'n diu d'aquesta recta?

PROPIETATS DE SEGMENTS I ANGLES HOMOTÈTICS

Desplaça el centre d'homologia O, el punt A i B o modifica el valor de k amb el punt lliscant. També pots utilitzar les caselles de control. Observa com es modifiquen els segments i angles i contesta les preguntes.
  • Com són els segments AB i A'B' ? Compleixen alguna raó?
  • Quina relació hi ha entre els segments A'B' i AB amb els segments OA' i OA?
  • Com són els angles OAB i OA'B'?
  • Com són els angles OBA i OB'A'?
  • Perquè creus que passa això amb els angles?
  • Quina propietat o Teorema es compleix?

PROPIETAT D'IDENTITAT

Pots desplaçar els punts A, B i O, però principalment modifica el valor de la raó k, punt lliscant. Observa com és la figura homotètica..
  • Què passa quan k=1? com són les dues figures?
  • Què passa quan k=-1? com són les dues figures?
  • Quan k=-1, hi ha alguna altre transformació amb la qual es pugui obtenir la mateixa figura? mira la figura en moviment...
  • uan k=-1, hi ha una altre transformació, quina?
CONSTRUCCIONS DE FIGURES HOMOTÈTIQUES Una homotècia queda determinada si es disposa de les dades següents:
  1. El centre i dos punts homotètics.
  2. El centre i la raó d'homotècia.
  3. Dues figures o dos segments homotètics.

1. CONSTRUCCIÓ D'UN HOMOTÈCIA DONAT EL CENTRE I DOS PUNTS HOMOTÈTICS.

Desplaça el centre d'homotècia O, el punt A i A'. També pots utilitzar les caselles de control per animar la construcció.
  • Com són els segments AB i A'B'?
  • Com es pot trobar el valor de la raó?

2. CONSTRUCCIÓ D'UN HOMOTÈCIA DONAT EL CENTRE D'HOMOTÈCIA I LA RAÓ.

Desplaça el centre d'homotècia O, els punt A i B. També pots utilitzar les caselles de control per modificar la raó i veure com canvia la homotècia per valors negatius.
  • Quin teorema utilitzem per trobar un segment homotètic a un altre en funció de la raó?
  • Què ens indica el denominador?
  • Què ens indica el numerador de la raó?
  • Què passa quan la raó és negativa?
  • Què hauríem de fer si ens donen la raó numèrica? per exemple -1.666666.... ?

3. CONSTRUCCIÓ D'UNA HOMOTÈCIA DONATS DOS SEGMENTS HOMOTÈTICS.

Desplaça el centre d'homotècia O, els punt A i B i els extrems del segment b'. També pots utilitzar les caselles de control per modificar el polígon i animar la construcció.
  • Quantes opcions hi ha per fer aquesta homotècia?
  • Hi ha un sol centre d'homotècia?
  • Quin tipus d'homotècia és amb la opció 1? Directe o inversa?
  • Quin tipus d'homotècia és amb la opció 2? Directe o inversa?
  • Sempre és així?

4. REALITZAR UNA HOMOTÈCIA DE LA FIGURA SABENT NOMÉS K I DOS PUNTS HOMOTÈTICS A i A'.

Aquest és un dels exercicis més complicats per a realitzar una homotècia, el problema principal és trobar l'origen de l'homotècia O. A l'exercici pots modificar els punts A i A', el numerador i denominador de K i el número de costats del polígon regular. En funció de K, s'ha de tenir clar:
  • Quantes porcions hi ha d'haver entre A i A'.
  • On ha d'estar O si la K<0, si 0
Un cop tenim clar aquests punts només ens caldrà aplicar el teorema de Tales per fer les proporcions entre el segment AA' i O.
CONSIDERACIONS A TENIR EN COMPTE: S'ha de saber que la distància, porcions de la unitat OA, que hi ha entre els punts homotètics, en aquest cas A i A', sempre és la suma del numerador més el denominador. Exemple 1, K=5/3
  • K>1 per tant és una homotècia directa.
  • Si fem la divisió 5/3, dona 1.6666.., per tant, com que és superior a 1, és una ampliació.
  • Hi haurà 3 porcions en el segment AO i 5 porcions en el segment OA'.
  • Això vol dir que entre A i A' hi ha 3+5=8 porcions, passant per O.
  • El centre O estarà al costat oposat de A', amb ordre O, A i A'
Exemple 2, K=2/5
  • K>1 per tant és una homotècia directa.
  • Si fem la divisió 2/5, dona 0.4, per tant, com que és inferior a 1 i superior a -1, és una reducció.
  • Hi haurà 5 porcions en el segment AO i 2 porcions en el segment OA'.
  • Això vol dir que entre A i A' hi ha 5+2=7 porcions, passant per O.
  • A' estarà entre O i A.
Exemple 3, K=-3/5
  • K<1 per tant és una homotècia inversa
  • Si fem la divisió -3/5, dona -0.6, per tant, com que -1<-0.6<1 és una reducció.
  • Hi haurà 5 porcions en el segment AO i 3 porcions en el segment OA'.
  • Això vol dir que entre A i A' hi ha 5+3=8 porcions, passant per O.
  • O estarà entre A i A'.