Estelaciones del icosaedro truncado
Gaudí diseñó diversos poliedros y estrellas para la decoración exterior de la Sagrada familia. Llama la atención una estrella que encontramos sobre la columna central de la Fachada del Nacimiento.
Primeras hipótesis en búsqueda del poliedro
López de Briñas (2016) realiza una exhaustiva investigación de la Estrella de Belén intentando averiguar el poliedro en el que se basó Gaudí para construirla. En una primera fase del trabajo determina que está formada por pirámides triangulares y pirámides que ascienden con cinco caras curvadas en espiral a partir de una base pentagonal por lo que debe surgir de alguna forma de dodecaedro. Las pirámides triangulares son 20 y se disponen sobre los vértices del dodecaedro.
Después de descartar otras posibles soluciones, se inclina por el icosidodecaedro que puede surgir del truncamiento del dodecaedro y también del icosaedro. Hemos preparado un applet con geogebra que realiza progresivamente los truncamientos del icosaedro a la vez que colocamos pirámides sobre las caras que aparecen.
Un applet para estudiarlo
Se ha diseñado una construcción con geogebra que realiza progresivamente los truncamientos del icosaedro a la vez que se colocan pirámides sobre las caras que aparecen. Los botones de la parte intermedia nos permiten dos tipos de visión:
- El truncamiento del icosaedro (pulsar Play en el botón azul para ver la animación del truncamiento) en todos sus vértices con cortes perpendiculares a los segmentos que unen el centro del poliedro con cada vértice que hace que en los vértices aparezcan pentágonos regulares y en las caras los triángulos del icosaedro se convierten en hexágonos que tienen los lados opuestos paralelos. Los casos más señalados se dan cuando los cortes dan lugar a hexágonos regulares (icosaedro truncado) y acaba en el icosidodecaedro cuando el corte llega al centro del lado del triángulo inicial haciendo que el hexágono se convierta en otro triángulo equilátero de lado la mitad.
- La estelación de los poliedros anteriores con pirámides que inicialmente surgen desde el centro del icosaedro y se van dirigiendo progresivamente hacia el exterior (pulsa el play de color marrón para activar la animación que modifica la altura de las pirámides)
López de Briñas descarta otros poliedros por tener caras cuadradas como el Pequeño Rombicosidodecaedro o por tener unas caras mucho mas grandes que otras (Dodecaedro Truncado) y parece inclinarse por la estelación del Icosidodecaedro ya que las 20 pirámides de base triangular rodean a las 20 pirámides de base pentagonal.
El problema de esta figura consiste en que los pentágonos y los triángulos de las bases de las pirámides comparten el lado, pero en la Estrella no es así ya que las aristas de las pirámides triangulares convergen hacia el centro de la cara pentagonal.
El siguiente applet ha detenido el truncamiento en el Icosaedro Truncado en el que los cortes en los vértices se hacen a 1/3 de la arista. Sus caras son 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Se han unido los vértices superiores de las pirámides de base hexagonal que, al situarse sobre los centros de las caras del icosaedro, formarán un dodecaedro
Esta construcción tiene el mismo problema que el Icosidodecaedro, las aristas de las bases de las pirámides pentagonales coinciden con las aristas de las pirámides hexagonales cuando lo que se busca es que los vértices de los polígonos de las bases de las pirámides triangulares y pentagonales se enfrenten unos con otros.
Una vez agotadas las opciones con los truncamientos estrellados, la autora dirige la mirada en otra dirección. que estudiamos con GeoGebra en La Estrella de Belén en la Sagrada Familia.
Bibliografía
López de Briñas, M.Desamparados (2015) Estrellas en la Sagrada Familia de Gaudí: Un contexto nuevo para estudiar poliedros. Comunicación en las XVII Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas. FESPM
López de Briñas, M.Desamparados. (2016). Estrellas en la Sagrada Familia. FESPM