GeoGebra

Geometriekalküle

Autor:Walter Füchte
Der Titel dieses Abschnitts ist der Titel des wunderbar zu lesenden und aufschlussreichen Buches von J. Gebert-Richter und T. Orendt [Ric_OR]. Es geht um den alten Traum, sowohl geometrisch einfache wie auch komplexe Zusammenhänge durch effektive Rechenverfahren, Algorithmen in den Griff zu bekommen: vielleicht sogar, um geometrische Sachverhalte mit der Maschine beweisen oder gar entdecken zu können. Die Rechnungen sollen dabei nicht durch einen zu großen Aufwand an Koordinatenrechnungen die geometrischen Beziehungen verdecken, sondern es sollte ein algebraischer Werkzeugkasten bereitgestellt werden, der die Geometrie verständlich und "einfach" wiederspiegelt. Solche Werkzeugkästen sind die Grundlage für Geometriesoftware wie z.B. Cinderella.2 oder GeToolbar ImageGebra. Welches sind unsrer Meinung nach die wichtigsten Werkzeuge?
  • Lineare Algebra - Determinantenkalkül : Grassmann-Algebra - Quadratische Formen
  • Projektive Sichtweisen
  • Komplexe Zahlen
  • LIE-Gruppen und LIE-Algebren
In Cinderella.2 konnte im Hintergrund (in Skripten) völlig problemlos mit komplexen Zahlen gerechnet werden: mit komplexen Vektoren ließ sich ohne Einschränkung rechnen: Kreuzprodukt, Skalarprodukt, Determinanten, die Exponentialabbildung usw. waren komplex verwendbar. Allerdings war die 3D-Ansicht nur über Umwege zu erhalten. Wir vermuten, dass es zwischen Rechnungen mit komplexen Vektoren und 3D-Darstellungen prinzipielle Unverträglichkeiten gibt. In GeoGebra dagegen ist mit 3D-Darstellungen sehr gut zu arbeiten, dafür erfährt man aus dem Handbuch, dass GeoGebra "komplexe Zahlen nicht direkt unterstützt". Nach unseren Erfahrungen kann man zwar im CAS-Modus mit komplexen Vektoren rechnen, jedoch erscheinen dadurch geometrische Ansichten stark ausgebremst. Wir haben versucht, mit komplexen Vektoren in der Tabellen-Ansicht zu arbeiten, dabei stehen aber wichtige Hilfsmittel wie Kreuzprodukt oder Skalarprodukt nicht direkt zur Verfügung, wir mussten diese Operationen in der Tabelle definieren. Dies ist nicht im Sinne von effektiven Geometrie-Kalkülen. Das ist bedauerlich im Hinblick auf die nächsten Kapitel dieses Buches:
  • lineare und quadratische komplexe Vektorfelder
  • komplexe Funktionen und deren Isothermen
  • Hermitesche Formen und bizirkulare Quartiken
Für die ebene Möbiusgeometrie den Geradenraum als Grundlage algebraischer Berechnungen zu verwenden, hat Vor- und Nachteile: Vorteile sind der unmittelbare Zugang zu Determinantenkalkül und komplexer Berechnung. Nachteile und Handicaps des Geradenraum-Modells der Möbiusebene: 1. Kreise, die eigentlichen Objekte der ebenen Möbiusgeometrie neben den Punkten, sind nur indirekt zugänglich: als Bahnkurven von W-Bewegungen, als Fixpunktmengen von Spiegelungen oder als Zerlegungen in zwei reelle polare Unterräume. Wir werden später Kreisspiegelungen als involutorische hermitesche Abbildungen genauer betrachten. Kreise erhält man damit als Nullstellen der hermiteschen Formen für Berührgeradenvektoren mit . In euklidischen Koordinaten sind die Nullstellen beliebiger hermitescher Formen bizirkulare Quartiken. 2. Die sogenannten absoluten Kreispunkte I und J sind im komplexen Geradenraum gewissermaßen nicht auffindbar! Die absoluten Kreispunkte erweitern die reelle projektive Ebene um zwei komplexe Punkte mit vielen verblüffenden Eigenschaften. Man lese dazu die lesenswerten Seiten im oben genannten Buch "Geometriekalküle" [Ric_OR]. Kurz beschrieben: die reelle projektive Ebene wird als reeller Teil einer komplexen Ebene betrachtet, von den komplexen Elementen werden jedoch nur diese beiden absoluten Kreispunkte genutzt. Wie in dem zitierten Buch dargelegt, nützen diese zusätzlichen Punkte bei der Charakterisierung der Kreise als genau diejenigen Kegelschnitte durch 3 Punkte, die diese beiden Punkte zusätzlich enthalten. Sie dienen weiter dazu, das Messen von Winkeln und Abständen projektiv invariant zu erklären. Nun ist der Geradenraum, wie wir in nutzen, eine komplexe projektive Ebene, die Möbiuspunkte sind Punkte auf einer komplexen Quadrik. Für zusätzliche weitere komplexe Punkte wäre nur Platz, wenn man den Geradenraum nur reell betrachten würde und dann künstlich (?) komplex erweitern würde. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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