Die komplexe Struktur des Geradenraums
Die beiden auf erklärten quadratischen Formen und sind nicht ausgeartet. Daher gibt es eine bezüglich selbstadjungierte lineare Abbildung , welche zwischen den Formen vermittelt:
Durch die Polarität wird zu einem komplexen Vektorraum.
Zunächst gilt nämlich:
Begründung: Für eine positiv orientierte normierte Basis von zur Signatur (-,+,+,+) sind die Geradenvektoren eine Basis von .
Per definitionem gilt für alle
Stellt man als Linearkombination der Basisvektoren dar und setzt man für die Vektoren der Basis ein, so ergibt sich und auf dieselbe Weise .
Mit den übrigen Paaren verfahre man ebenso.
Durch die komplexe Skalarmultiplikation
wird zu einem komplexen Vektorraum der Dimension 3.
Darüberhinaus lassen sich die beiden auf gegebenen reellen Formen zu einer komplexen symmetrischen Bilinearform zusammenfassen: es sei definiert
- und damit die Multiplikation mit ist selbstadjungiert auch bezüglich , daraus folgt die Symmetrie und Bilinearität der quadratischen Form .
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