Függvények inverze
Gondoltam egy számot, hozzáadtam hetet, megszoroztam kettővel, majd az egészet kivontam százból. Végeredményül 66-ot kaptam. Melyik volt a gondolt szám?
Vizsgáld meg az interaktív alkalmazás segítségével pár ismert függvény grafikonjának az tengelyre vett tükörképét! Hogyan kapcsolódik ez az eljárás az előbbi feladathoz? Hasonlítsd össze az inverzeket a tükörképekkel! Vizsgáld meg a tükrözéseket és inverzeket intervallumon megadott függvény esetén is! Mely esetekben van egyezés, és melyekben nincs, vagy csak részben van? A nem egyezők közül melyik javítható valamilyen egyszerű módosítással, például eltolással?
1. feladat
Vizsgáld meg először a lineáris, a páratlan kitevőjű hatvány, majd az exponenciális és logaritmus függvények tükörképeit! Pipáld be a Tükrözés jelölőnégyzetet! Például a következő függvényeket:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) .
2. feladat
Vizsgáld meg az előbbi függvények inverzeit! Pipáld be az Inverz jelölőnégyzetet! Mit veszel észre?
3. feladat
Vizsgáld meg az előbbi függvényeket és inverzeiket egy-egy intervallumra szűkítve is! Pipáld be az Intervallum jelölőnégyzetet! Ha a rajzlapon szeretnéd beállítani az intervallumot, pipáld be az újonnan megjelenített csúszkák jelölőnégyzetet. Ez némiképp lassítja a programot. Milyen megszorítást jelent ez az inverzfüggvényre nézve?
4. feladat
Hasonlítsd össze a következő függvények tükörképeit az inverzeikkel:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .
5. feladat
Vizsgáld meg, hogyan hatnak az inverzekre az ismert függvénytranszformációk! Használd a csúszkákat, vagy a mellettük lévő beviteli mezőket! Ha intervallumra szűkítve szeretnéd használni a csúszkákat, pipáld be a csúszkák jelölőnégyzetet. Figyelem! Ez igen lassú lehet, légy türelemmel, ha ezt választod.
6. feladat
Vizsgáljuk meg a trigonometrikus függvények inverzeit és tükörképeit egy-egy periódusra, félperiódusra szűkítve is! Mozgathatod az intervallum széleit jelző pontokat, de meg is adhatod azokat a Kezdőpont, illetve Végpont beviteli mezők segítségével!