Polaren am Kreis

Thema:
Kreis
by Helmut Frühinsfeld (2017-09)

Ziel dieses Arbeitsblatts

Der Begriff der Polaren eines Punktes bezüglich eines Kreises, der Zusammenhang mit ihrem Pol und die Beziehungen der Polaren verschiedener Punkte zueinander werden demonstriert. Dies geschieht mit in GeoGebra erstellten dynamischen Grafiken. (GeoGebra bietet ein Werkzeug zur Erzeugung der Polaren eines Punktes.) Am Ende gibt es einen Link zu einer pdf-Datei, in der die Definition der Polaren und die Beweise der wesentlichen Sätze über sie mittels Vektorrechnung geliefert werden.

Pol und Polare - eine Demonstration

Wir beziehen uns stets auf einen fest vorgegebenen Kreis, dessen Radius gleich 1 ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit). A sei ein beliebiger, vom Kreismittelpunkt O verschiedener Punkt (rot). Die Polare des Punkts A ist die rote Gerade - wir nennen sie p(A). A heißt auch der Pol der Polaren p(A). Mit A0 bezeichnen wir den Schnittpunkt von p(A) mit der Geraden OA. Man verschiebe den Pol A und verfolge, wie sich die Polare p(A) dabei verändert.
Man erkennt die Gültigkeit der folgenden Aussagen zur Beziehung zwischen Pol und Polare: Die Gerade OA und die Polare p(A) stehen aufeinander senkrecht. Liegt A auf dem Kreis, so ist p(A) die Tangente an den Kreis im Berührpunkt A. Die Streckenlängen |OA| und |OA0| sind reziprok zueinander, d.h. ihr Produkt ist 1: |OA| * |OA0| = 1 (Man denke an den Kathetensatz im gelben Dreieck.) Liegt A innerhalb des Kreises, so liegt A0 außerhalb des Kreises. Die Polare p(A) hat dann keinen Punkt mit dem Kreis gemeinsam. Liegt A außerhalb des Kreises, so schneidet p(A) den Kreis in zwei Punkten. Diese sind die Berührpunkte der Tangenten von A an den Kreis. Man verschiebe die Pole P, Q und R in geeigneter Weise und verfolge, wie sich die Polaren p(P), p(Q) und p(R) dabei verhalten:
Man erkennt die Gültigkeit der folgenden Aussagen zur Beziehung zwischen verschiedenen Polaren: Liegt ein Punkt auf der Polaren eines anderen, so geht seine Polare durch diesen. Geht eine Gerade durch den Pol einer anderen, so liegt ihr Pol auf dieser. Der Schnittpunkt zweier Polaren ist der Pol der Verbindungsgeraden ihrer Pole . Die Verbindungsgerade zweier Pole ist die Polare des Schnittpunkts ihrer Polaren. Liegen drei Punkte auf derselben Geraden (die nicht durch O geht), so gehen ihre Polaren durch einen gemeinsamen Punkt. Gehen drei Geraden durch denselben Punkt, so liegen ihre Pole auf einer gemeinsamen Geraden (die nicht durch O geht).

Beweisführung (pdf-Datei zum Herunterladen)

 Die hier verlinkte pdf-Datei liefert die Definition der Polaren und die Beweise zu den grundlegenden Sätzen mithilfe zweidimensionaler Vektoren und deren Skalarprodukt. Öffnen über das Kontextmenü startet den Download.

Polaren am Kreis - Beweisführung