Sección 1.7 - El triángulo medial y la línea de Euler
El triángulo formado uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo se llama el triángulo medial.
En esta sección, estaremos observando la siguiente figura:
Hay mucha información en la figura mostrada. Vamos a disecar la misma.
En la figura, es el triángulo medial de , Insertamos dos medianas y encontrandose en el punto G. Insertamos dos alturas del encontrándose en el punto H. Finalmente, insertamos dos alturas del , encontrándose en el punto O.
Primero, tiene sus lados paralelos a aquellos del , así que los triángulos son similares. Luego, , formando una proporción entre cualquiera dos segmentos de línea correspondientes (no solamente lados correspondientes) de 1:2. Adicionalmente, los segmentos de línea disecan en cuatro triángulos congruentes.
Además, notemos que es un paralelogramo, así que la diagonal biseca a la diagonal . Por lo tanto, las medianas del caen dentro de las medianas del . Esto significa que ambos triángulos tienen el mismo centroide, G. Además, el punto medio de , denominado , es el punto medio de .
Ahora, como las alturas del mostradas en la figura son los bisectores perpendiculares de los lados y del . Concluimos que el ortocentro O del es el circuncentro del .
Como es el ortocentro del y el ortocentro del triángulo similar , .
Por el Teorema de trisección de la sección 1.3 notamos que . Finalmente, como y son ambos perpendiculares al lado , son paralelas. Por lo tanto,
, y .
Esto nos muestra que los puntos son colineares y .
Esto nos prueba el siguiente Teorema
Teorema 1.71
El ortocentro, centroide y circuncentro de cualquier triángulo son colineares. El centroide divide la distancia del ortocentro al circuncentro en una proporción 2:1. La línea formada por estos tres puntos se llama la línea de Euler.
Leonhard Euler
Leonhard Euler, nacido en Basel, Suiza en 1707, fue un gran matemático. Enriqueció a muchas áreas de las matemáticas. Escribió 473 "memoirs" publicadas en su plazo de vida. Luego de su fallecimiento, se publicaron 200 más y aún faltaron 61 que tuvieron que esperar.