GeoGebra

Ziel - Problem - Vermutung

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (Juli 2019)

 1938 stellte WILHELM BLASCHKE die Frage nach allen Sechs-Eck-Geweben aus Kreisen. ([BLA_BO] Literaturverzeichnis) Diese Frage ist möglicherweise noch nicht beantwortet. Ein Ziel des geogebra-books und das Ziel dieser Kapitel ist es, Methoden, Ideen und Beispiele zu dieser Frage zusammenzustellen, die zur Kärung beitragen könnten. Der Stand der Dinge (nach unserem Wissen) Geraden sind auch Kreise - die Frage nach Sechs-Eck-Geweben aus Geraden ist gelöst:
  • 3 verschiedene Geradenbüschel bilden stets ein Sechs-Eck-Gewebe
  • Andere geradlinige Sechs-Eck-Gewebe bestehen aus den Tangenten einer Kurve 3. Klasse: Dies ist der Satz von H. GRAF und R. SAUER ([GRA_SA] 1929 Literaturverzeichnis)
In welchen Fällen 3 verschiedene Kreisbüschel, allgemeiner: die Bahnkurven von 3 verschiedenen Möbius-W-Bewegungen, ein Sechs-Eck-Gewebe bilden, ist in [FÜW] 1982 Literaturverzeichnis beantwortet.
Auch für 3 Kreisscharen im Raum scheint die Frage nahezu gelöst zu sein, wenn man von den Kreisscharen auf der RIEMANNschen Zahlenkugel bzw. in der GAUSSschen Zahlenebene absieht! 3D-Beispiele sind Kreise und Geraden auf einschaligen Hyperboloiden, die Kreise auf einem Torus und deren Bilder unter räumlichen Möbiusabbildungen: DUPINsche Zykliden. Allgemeiner sind 6-Eck-Netze aus Kreisen auf DARBOUX Cycliden untersucht und klassifiziert worden. Hinweis: räumliche Möbiusabbildungen sind kreis-treu! Siehe dazu das book-Kapitel Sechs-Eck-Gewebe 3D. Siehe auch die Beispiele im geogbra-book Sechseck-Netze. Das Bild stammt von der book-Aktivität Inversion eines Hyperboloids.
Es bleibt die Frage zu beantworten: Unter welchen Voraussetzungen erzeugen 3 Kreisscharen auf der RIEMANNschen Zahlenkugel, bzw. in der GAUSSschen Zahlen-Ebene ein Sechs-Eck-Gewebe. Fassen wir die oben genannten Beispiele zusammen:
  • Projiziert man Im Raum eine Gerade von einem Punkt aus auf die RIEMANNsche Zahlenkugel, so erhält man einen Kreis - möglicherweise einen Punktkreis oder einen imaginären Kreis. Daher ergeben Sechseck-Netze aus Geraden, projiziert auf die Kugel, Sechseck-Netze aus Kreisen.
  • Die oben erwähnten Sechseck-Netze aus 3 Kreisbüschel, die auf den folgenden Seiten dargestellt werden
  • Hinzu kommen spezielle bizirkulare Quartiken, die in 2 verschiedene Kreise zerfallen: aus den Kreisen, welche die beiden vorgegebenen "Rand-Kreise" doppelt berühren, und den Kreisen des von den "Rand-Kreisen" erzeugten Kreisbüschels lassen sich auf einfache Weise Sechseck-Netze konstruieren.
1938 beschrieb WALTER WUNDERLICH [WUNW] Literaturverzeichnis "ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen". Diese Dreiecksnetze, wir sagen Sechs-Eck-Gewebe, entstehen aus Scharen von Kreisen, welche gewisse bizirkulare Quartiken doppelt berühren. Es sind dies die zweiteiligen bizirkularen Quartiken und die Möbiustranformierten von Ellipsen bzw. von Hyperbeln. Unsere Vermutung: Jedes Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisscharen, welches nicht zu einem der drei oben genannten Beispielen gehört, entsteht aus drei Scharen von Kreisen, welche eine bizirkulare Quartik doppelt berühren. Nachtrag (September 2021): Diese Vermutung ist wohl falsch: es wurden neue 6-Eck-Netze aus Kreisen entdeckt, die weder aus Kreisbüscheln entstehen, die aber wohl auch nicht aus doppelt-berührenden Kreisen einer, wenn auch zerfallenden, bizirkularen Quartik bestehen! Genaueres hierzu: siehe die Seite "Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen".

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