Im Fokus: Parabolisches im Alltag

Parabeln spielen in vielen Bereichen der Technik, nicht nur als tragende Elemente in Bauwerken, eine wichtige Rolle. Dargestellt ist hier der Querschnitt einer parabelförmigen, verspiegelten Schüssel, in die an den Stellen P1 und P2 zwei Sonnenstrahlen einfallen sowie die Reflektionen der Strahlen. Die einfallenden Strahlen verlaufen dabei parallel zur Symmetrieachse der Parabel, d.h. die Schüssel ist mit ihrer Mittelachse genau auf die Sonne gerichtet. Die Auftreffpunkte beider Strahlen können durch Verschieben der Punkte P1 bzw. P2 mit der Maus verändert werden. Die Weite der Parabel kann durch den Schieberegler p eingestellt werden. Zusätzlich gibt es ein horizontales Lineal, das über den roten Punkt auf der y-Achse verschoben werden kann, um Punktkoordinaten auf der Parabel zu messen.
1) Variieren Sie die Auftreffpunkte der Strahlen sowie die Weite der Parabel und beobachten Sie dabei den Strahlverlauf. Welche Eigenschaft einer Parabel können Sie dabei entdecken? Formulieren Sie Ihre Erkenntnisse in einem Satz und versuchen Sie, einen passenden Begriff für diese Eigenschaft zu finden! 2) In welchen praktischen / realen Anwendungen könnte diese Eigenschaft genutzt werden? Versuchen Sie, mehrere Beispiele in Ihrem Lebensumfeld zu finden! 3) Können Sie einen Zusammenhang zwischen der Lage des besonderen Punktes, den Sie entdeckt haben, und dem Parameter p der Parabelgleichung herstellen? 4) Versuchen Sie, die Lage dieses Punktes mit Hilfe der Differentialrechnung zu ermitteln und zu bestätigen. Gehen Sie dabei von den voreingestellten Werten des Reflektionspunktes P1 und des Paramters p aus (ggf. die Voreinstellung neu laden). Die beiden Tipps sollten Sie erst einblenden, wenn Sie allein nicht weiter kommen! 5) Versuchen Sie zu begründen, warum Parabolantennen ("Satellitenschüsseln") große flache Schüsseln und die Reflektoren von Autolampen dagegen eher klein und vergleichsweise tief sind. 6) Versuchen Sie, mit Hilfe der obigen graphischen Darstellung zu ermitteln: a) Welchen Abstand muß der Glühfaden / Xenon-Lichtbogen einer Autolampe mit 16cm Durchmesser und 8cm Tiefe vom Scheitelpunkt des Reflektors haben, damit die Licht- strahlen parallel ausgerichte sind und einen optimalen Lichtstrahl ergeben? b) Welchen Abstand muß das LNB vom Scheitelpunkt einer 100cm großen und 8cm tiefen Parabolantenne haben, um optimalen Empfang zu erreichen? (Hinweis: interpretieren Sie die Skalierung als Dezimetereinheiten)