ブラとケットでブラケット？
このワークシートはMath by Codeの一部です。
量子力学の表記のひとつにブラとケットがある。
今回は、ディラックのブラとケットの代数をみてみよう。
1．ブラとケット
＜ブラとケットの内積がブラケット＞
ベクトルの内積を表すための記号として、
状態関数φｊ(x)を列ベクトル=|φｊ＞とかき、ケットという。
観測のための関数φi*(x)を行ベクトル=＜φi|とかき、ブラという。
ブラはケットベクトルの共役転置をして作れる。
そして、ブラとケットはつないだ＜φi | φj＞で、内積＜φi、φj＞＝∫φi*(x)φj(x) dxを表す。
ブラケットという。
さらに、演算子を使った内積もよく使う。
＜φi | F | φj＞で、＜φi、Fφj＞=∫φi*(x)Fφj(x) dxを表す。＜i | F | j ＞とかくこともある。
（例）
物理量Oの期待値Oを演算子Pを使って表すのに、＜O＞＝＜ψ｜P｜ψ＞＝∫ψ*Pψdx
このように、読み書きすることをディラックさんが定めた。
＜完全直交正規基底(CONS)を作ろう＞
量子力学の１つの演算子（行列）について固有値λiと固有ベクトル（固有関数）φiをあつめよう。
それを正規化すると、別の固有値の固有関数とは直交するから直交正規基底ができるね。
どんな状態ケット|ｆ＞も基底の線形結合で表すことができる。
|ｆ＞=c1|φ1＞＋c2|φ2＞＋…＋cn|φn＞＝Σci｜φi＞ （ ciをｆの展開係数という。）
展開係数のi番目ci=＜φi, ｆ＞となる。
なぜなら、ブラ＜φi|とケット｜φi＞の内積は、＜φi, φj＞=δijだから、ブラの番号iと一致する係数だけ
残るからだね。
すると、状態ケット｜ｆ＞は言い換えができる。
｜ｆ＞＝Σ＜φi, ｆ＞|φi＞＝Σ |φi＞＜φi,ｆ＞＝（Σ|φi＞＜φi｜)｜ｆ＞
すると、Σ|ei＞＜ei｜が｜ψ＞を不変にしていることがわかるね。
だから、^I=｜φi＞＜φi｜は恒等作用素といえるね。ケットブラと呼ぶ。
２．演算子とケット
＜演算子とケット＞
ブラケット表記で演算子を使ってみよう。
＜i | j＞＝δij, Σ｜i＞＜i｜=1とすると、ｎ次の完全な正規直交基底となり、{|i>}はCONSだね。
状態ψのi列ベクトル｜ψ＞をとりだすにはci=＜i｜ψ＞=c
状態ψのi行ベクトル＜ψ｜をとりだすにはci*=＜ψ｜i＞=#c(共役転置）
これらの内積は＜ψ｜ψ＞＝Σ＜ψ｜i＞＜i｜ψ＞＝#c・cで計算できる。
演算子Fによる状態ケットψへの作用は＜i, Fj＞｜ψ＞＝＜i｜F｜j＞＜j｜ψ＞とかく。
すると、
状態ψに対して演算子Hを作用させても不変になるとき、
H｜ψ＞＝E｜ψ＞
という式ができる。
これをΣでかこう。
Σ＜i | H | j＞＜j | ψ＞＝E＜i | ψ＞
これを行列とベクトルにすると、
行列×列ベクトルc＝E・列ベクトルｃ
となるので、行列Hの固有値問題となるね。
＜期待値＞
状態ψのエネルギー期待値Eは、
右側の | ψ＞で現在の状態を用意し、
演算子 H を作用させて各成分をエネルギー E_i 倍し
左側の＜φi | でそれらを集計（内積）する。
＜E＞=Σ ＜ψ｜φi＞ Ei ＜φi | ψ＞ ＝ ＜ψ｜H｜ψ＞
３．CONSでブラケット
{Em}=１/√2π{....., exp(-i2θ), exp(-iθ), exp(0), exp(iθ), exp(i2θ),......}は正規直交関数だったね。
Emを使うと、
f(θ)＝Σ am | Em＞( m=[-∞、∞] )
のように
2π周期関数f(θ）が複素数三角関数の級数として表示できるということだね。
＜フーリエ級数＞
{Un(x)}=１/√π{１/√2, cosx ,sinx, cos2x, sin2x, ........} も正規直交する基底関数だ。（ｘが-π以上とπ未満）
f(x)=Σ am | Um＞ ( m=[0、∞] )
のように2π周期関数f(x)がUnの級数として表示できる。
これがフーリエ級数だった。
フーリエ級数が正規直交関数系（直交多項式）でできてることが、
フーリエ変換や微分方程式の解法につながった。
（例）
フーリエ級数y=1・sinx+1/3 ・sin3x+ 1/5・sin5x は、
３つの正規直交基底Fm={sin x, sin3x, sin5x}の一次結合。
（正規直交関数である理由）
(sinx・sin3x)=(sin3x・sin5x)=(sin5x・sinx)=0
(sinx・sinx)=(sin3x・sin3x)=(sin5x・sin5x)=π。
∫XYdx[ -π, π] は奇関数X×奇関数Y＝奇関数の積分は原点対称で０になる。
X=mxとして、∫(sin X)2 dx=1/2 ∫(1- cos 2X) dx =1/2 ∫1 dx-1/2 ∫cos 2Xdx=1/2[x][-π,π] -0=π。
他にも微分方程式の解法につながる正規直交関数系（直交多項式）の仲間がある。
それをさぐっていこう。
＜ルジャンドル多項式＞
ルジャンドルの微分方程式(1-x2)y''-2xy' +n(n+1)y=0 (N∍n)
この基本解の１つはｎ次多項式y=p_n(x)=1/(2n・n!) (d/dx)n [(x2-1)n ]
この多項式の関数ベクトルを{Pn}={p_n(x)}としよう。
これは区間[-1,1]で重み関数w(x)=1に対する直交多項式系だ。
このとき、
任意のｎ次多項式は{Pn}の一次結合で表示できる。
g(x)がn-1次多項式で＜Pn| g＞＝∫pn(x) g(x) w(x) dx=0から、
pn(x)とgは直交する。
g(x)がn次多項式で、g(x)がPn(x) (n=1からn-1)とw(x)と直交するなら、g(x)はP(n)の定数倍になる。
{Pn}のノルムはCn=2/(2n+1)なので、
∫1Pk(x)Pn(x) dx[-1,1]=Cn・δkn=if(k=n, Cn, 0)
{Un(x)}={1/Cn Pn(x)} (N∍n)で正規化された直交多項式系になるね。
課題：フーリエ変換のイメージをgogebraで視覚化するにはどうしたらよいでしょうか。
フーリエ変換は、ｆ(t)という時間領域の非周期関数から、F(k)という周波数領域の連続関数への変換
だった。変換のイメージをつかむだけなら、f(t)が周期関数で、F(k)が離散値でもよいね。
たとえばノコギリ波の時間関数は、
para=Sequence(n)という自然数列に連動して、
sw(x)=Sum(Zip(((1)/(m)) sin(m f*2 π x) (-1)^(m+1),m,para))
これをグラフィックビューで表示する。
周波数の分布リストは、
saw=Sequence($point(k,(((-1)^(k+1))/(k))),k,1,n)
別のグラフィックビューで表示する。
これを上下に並べてみると、連動がよくかるね。
他の三角波、矩形波でも同様にできる。
それをスライダーをつけて、整数値を変化させることで、表示の切り替えができるね。
周波数の深さｎを変えると、関数のSumの深さも点列の数も連動して変わえられるね。
深さを多くするということは、エネルギーの基底数をふやすということになるね。
詳しくは、アプレットの数式を見てください。
このアプレットで３つの波を切り替えてみましょう。
不連続性の代償（ギブス現象）
矩形波や鋸歯状波のように「カクカクした」波を作ると高周波点列消えず「ツノ」が残る。
急激な変化（高エネルギー状態）の表現には、無限の基底が必要になるってことだ。
エネルギーの集中
三角波では係数が 1/k^2で減衰するため、低周波の数点だけでほぼ元の形が再現されます。
これは「なめらかな物質の状態」は、低エネルギー基底だけで効率よく記述できるってことだね。