M2 L Didaktische Hinweise zur Integralrechnung
Struktur dieses Buchs
Die folgende Reihenübersicht soll Ihnen einen Einblick in die Materialien dieses GeoGebra-Buchs geben und Anhaltspunkte für die Strukturierung Ihres Unterrichts mit diesen Materialien bieten.
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Video Modul 2: Grundvorstellungen zum Integral
Video Modul 2: HDI
Vortrag Modul 2: Integralrechnung
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Video Modul 2: Grundvorstellungen zum Integral
Video Modul 2: HDI
Vortrag Modul 2: Integralrechnung
Grundvorstellungen zum Integral
Kern des MaTeGnu-Konzepts ist das Ausbilden von Grundvorstellungen (GV).
Fokus bei der Entwicklung des Integralbegriffs in diesem Buch sind die beiden Grundvorstellungen Rekonstruieren und Kumulieren, die immer wieder durch die Grundvorstellung Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts ergänzt werden.
Ein Applet zum Integrieren als Mitteln findet sich in den Anregungen für den weiteren Untericht in Kapitel V.
Vorgehen im Buch
Kapitel 1. Rekonstruktion von Beständen
Anknüpfend an die Vorerfahrung zu "Bestand und Änderung", die in Modul 1 zum Thema Ableitung erarbeitet wurde, wird in Modul 2 der Integralbegriff als Rekonstruktion von Beständen eingeführt.
Dieses Buch nutzt als Verständnisanker die Frage nach der Wassermenge in einer Wanne bei bekannter Zu- und Abflussrate. Die Kernfrage ist dabei, wie auf Basis der Änderungsrate die Wassermenge (Bestand)
bestimmt werden kann. Sie wird zunächst an einer einfachen Situation mit abschnittsweise konstanten Zufluss- und Abflussraten behandelt. Dadurch ist ein intuitiver Zugang möglich.
Der Kontext für den Verständnisanker "Wanne" kann aus zwei Vorschlägen ausgewählt werden
(Loriot-Sketch "Herren im Bad", Stausee bei Dürre).
Der als Produkt rekonstruierte Bestand (Änderungsrate mal Zeitintervall) wird dann im Graph als orientierte Rechteckfläche gedeutet und die Frage des Anfangsbestands besprochen.
Kapitel 2. Integrieren als Kumulieren
Die übergreifende Leitfrage in diesem Kapitel besteht in einer möglichst genauen Bestimmung des Bestands (Wassermenge) bzw. der Fläche unter dem Graphen.
Neu ist die Betrachtung einer gekrümmten Änderungsratenfunktion. Das Vorgehen erfolgt in Analogie zu Modul 1: Die SuS nähern zunächst den Bestand von oben (überschätzen - Obersumme) und von unten (unterschätzen- Untersumme). Darauf aufbauend entdecken sie, dass die Intervallbreite verkleinert - also die Anzahl der gleichbreiten Intervalle vergrößert werden muss, um den Bestand genauer zu bestimmen. Auf Basis der Grundvorstellung des Kumulierens wird so eine Definition des bestimmten Integrals über den Grenzwert von Produktsummen (Rechtecksummen) erarbeitet.
Kapitel 3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
Ähnlich wie bei Modul 1 stellt sich in diesem Kapitel die übergreifende Leitfrage, ob sich das bestimmte Integral nicht auch leichter als über Grenzwertbildung berechnen lässt.
Phase 7.1 führt zur Beantwortung die in den ersten beiden Kapiteln erarbeiteten Vorstellungen zum bestimmten Integral mit den Vorstellungen zur Ableitung zusammen zu der Erkenntnis Integrieren ist die Gegenoperation zum Differenzieren, dem ersten Teil des HDI, an den sich die Definition einer Stammfunktion und Integrationsregeln anschließen.
Aus den Erkenntnissen zur Gesamtänderung des Bestands von einem Zeitpunkt zu einem zweiten, sowie zum Anfangsbestand und der Idee der Stammfunktion als Bestandsfunktion kann in Phase 7.2 der zweite Teil des HDI formuliert werden was die übergreifende Leitfrage abschließend beantwortet.
Das Kapitel kann optional durch Einführung der Integralfunktion auch vertieft bearbeitet werden.
Kapitel 4. Anwendung
In diesem Kapitel wird GeoGebra als Werkzeug beim Lösen von Sachaufgaben, die auf Integrale führen, eingesetzt. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen dabei verschiedene Flächeninhalte (Fläche zwischen
Graphen und x-Achse sowie Fläche zwischen zwei Graphen) sowie optional Rotationsvolumina.
Kapitel 5. Weiterer Unterricht
Die Applets in diesem Kapitel sind als optionale Anregungen für den weiteren Unterricht zu verstehen.