Modellierung einer Trigonometrischen Funktion
- Autor:
- R. Kanevski, Matthias Hornof
Hier siehst Du eine Fotoserie von der Mitternachtssonne, fotografiert vom Nordkapp aus. Da die Kamera im Stundenabstand die Einzelbilder aufgenommen hat, musste der Fotograph das Kamerastativ entsprechend weiter drehen. Nach der Aufnahmenserie wurden Streifen der Einzelbilder so aneinander gereiht, dass ein Panorama-Zeit-Foto entstanden ist. Das Koordinatensystem ist willkürlich, es könnte z.B. in die Kameralinse eingeblendet worden sein.
Modelliere nun den Graphen der Sinusfunktion so, dass sie in diesem willkürlichen Koordinatensystem den jeweiligen Sonnenstand zur richtigen Zeit beschreibt. Dazu kannst Du mit Hilfe der Regler jeden der vier Parameter a ("Amplitude"), b ("Frequenz"), c ("Verschiebung") sowie d ("y-Achsenabschnitt") verändern.
Lege also eine passende Kurve durch die jeweiligen Sonnenmittelpunkte"!
Betrachte die Funktionsgleichung.
Arbeite nun den in deinem Mathebuch Fundamente das Beispiel 1 (s. 192-193) durch. Übertrage anschließend die Zusammenfassung "WISSEN" in deine Unterlagen.
Aufgabe 1
Löse Aufgabe 1, s. 193. Um das Ergebnis mit dem TR zu überprüfen, gib die gefundene Funktion ein und bestimme Hoch- und Tiefpunkte, die du mit dem Bild im Buch vergleichen kannst. Dokumentiere die Verwendung des TRs: TR-->Grafik/Tabelle-->y=...-->Zeichnen--> Analyse-->Grafische Lösung-->Minimum/Maximum--> Ergebnis aufschreiben
Aufgabe 2, s. 193
Orientiere dich an das Beispiel auf der s. 192. x ist die Nummer des jeweiligen Monats. Zeichne einen Funktionsgraphen zuerst im Heft. Ermittle fehlende Werte und bestimme die Funktionsgleichung.
Lerne deinen Taschenrechner kennen! Sinusregression
Aufg. 7, s. 194. Nutze dafür Statistik- Menü und dokumentiere die Vorgehensweise:
TR->Einstellung auf 2 eingeben (!)-->Statistik-->
list 1: x-Werte eingeben (Monatsnummer von 0 bis 11)
list 2: y-Werte eingeben (Temperatur)
-->calc--> Regression-->Sinus-Reg.-->
x-List: list 1--> Formel kopieren in y1
y-List: list 2
Ergebnis: y=a sin (bx+c)+d
a= 10,96
b=0,48
c=-0,95
d=11,59
Werte in die FUnktionsgleichung eingeben.
Beachte, dass die Funktionsgleichung eine andere Form hat und somit die Werte von b und c hier nicht dieselben sind, die du sonst hättest bei einer Lösung per Hand!
f(x)=10,96 sin (0,48x-0,95)+11,59
Jetzt b ausklammern, um die Gleichung in die bekannte Form zu bringen:
f(x)= 10,96 sin (0,48 (x-1,98)) +11,59 gerundet: f(x)=11 sin ((x-2))+12
Hier ist b=0,48 , c=1,952
Lässt man die Funktion einzeichnen, ergibt sich eine sinusförmige Kurve.
Jetzt geht es darum die Güte der Regression einzuschätzen und zu interpretieren:
Aus der Tabelle sind uns der Tiefstwert 0 und der Höchstwert 24 bekannt. Da idie Stunden mit Tageslicht jährlich wiederkehren, ist die Periode p=12 Monate.
Wir berechnen
Amplitude: a= . Die Differenz von nur 1 zu dem ermittelten Wert von a11, passt also gut.
Verschiebung auf der y-Achse beträgt rechnerisch d=, passt zu dem ermittelten Wert von d.
Allerdings sieht man auch, dass bei dem gezeichneten Graphen der höchste Punkt im Mai liegt, nicht im Juni, wie in der Tabelle. Es ergibt sich also eine Verschiebung um 1 Monat.
Wir können also davon ausgehen, dass die durch die Regression ermittelte Gleichung die Schwankungen der Stunden mit Tageslicht in verschiedenen Monaten innerhalb eines Jahres nur relativ gut modelliert. Je nach dem, wie fein die Daten sind, ist auch diese Güte zu interpretieren!
Aufgaben für die Bearbeitung im Unterricht und in den HA
s. 194, Aufg. 5,6; s. 196 Aufg. 10, 11 (Regression), s. 197, Aufg. 13