Volume de uma esfera

Para calcular o volume de uma esfera de raio , vamos utilizar o princípio de Cavalieri. Considere um cilindro equilátero de altura e raio da base Retirando dois cones circulares retos, de altura e raio da base , cujas bases coincidem com as bases desse cilindro, obtemos o sólido A, representado na figura a seguir na cor laranja.

O volume do sólido A é igual à diferença entre o volume do cilindro equilátero e os volumes dos dois cones circulares retos, ou seja:

Agora, vamos considerar uma esfera E de raio e o sólido A, apoiados em um mesmo plano , conforme mostra a figura a seguir.

Considere também um plano paralelo a que secciona a esfera E e o sólido A a uma distância do centro da esfera O, como mostra a figura a seguir.

O plano determina um círculo na esfera E, cujo raio indicaremos por R. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

A secção determinada pelo plano no sólido A é uma coroa circular de raios e e sua área é dada por:

Assim, comparando e , verificamos que a área da secção plana da esfera E (círculo) é igual à área da secção plana do sólido A (coroa circular). Pelo princípio de Cavalieri, a esfera E tem o mesmo volume que o sólido A e, portanto, o volume V da esfera é dado por:

1 - Ao analisar-se um vírus em um microscópio, foi possível perceber que ele possui duas camadas, sendo a primeira camada formada por gordura e a camada central formada por material genético, conforme a imagem a seguir:

Calcular o volume da camada azul, ou seja, de gordura, é o mesmo que calcular a diferença entre o volume da esfera maior  e o da esfera menor .

2-Um silo tem o formato de um cilindro circular reto (com fundo) sob uma semiesfera, como na figura. Determine o volume desse silo, sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a altura do silo mede 8 m.

O volume do silo é igual à soma dos volumes de uma semiesfera de raio 2 m e de um cilindro de raio 2 m e altura 6 m.