Rechenregeln für Integrale
Einführung
Integralrechnung dient der Ermittlung von Flächenbilanzen oder der Flächenberechnung zwischen einem Graphen einer Funktion und der x-Achse sowie der Strecken- und Massenberechnung. In dem folgenden Projekt beschäftigen wir uns mit den Rechenregeln von Integralen aus dem "Skript Anallysis 1 und Lineare Algebra für Ingenieurswissenschaften" (Kap. 30.2, S.238, Oktober 2018). Wir berücksichtigen in diesem Prokjekt nicht die tatsächlichen Flächen, sondern nur die Flächenbilanzen. Das bedeutet, dass negative Flächen mit positiven verrechnet werden, also gilt F (b) - F(a).
Rechenregel 1: Allgemeine Vereinbarung
Das Applet 1 zeigt uns die Cosinus-Funktion und die dazugehörige Fläche des Integrals in den Intervallgrenzen [a,b] = [-3,3]. Die "Allgemeine Vereinbarung" besagt, wenn wir ein Integral mit gleicher oberer und unterer Integrationsgrenze berechnen, so ergibt der Flächeninhalt Null.
Forscher*innenauftrag 1 - Allgemeine Vereinbarung Erforsche diesen Sachverhalt und schiebe die Schieberegler a und b an Applet 1 an einer beliebigen Stelle genau übereinander. Was zeigen dir die Flächenbilanzen an den unterschiedlichen Stellen?
Applet 1
Forscher*innenauftrag 2 - Allgemeine Vereinbarung Wir wissen, dass wir die Fläche zwischen unserem Funktionsgraphen und der x-Achse mit Rechtecken approximieren (Riemannsche Summe) und die Summe aller Flächenrechtecke uns nahezu den exakten Wert des Flächeninhaltes liefert. Versuche mit diesem Wissen den Sachverhalt geometrisch zu erklären.
Rechenregel 2: Für a < b
Bei einem bestimmten Integral ist die obere Integrationsgrenze b immer kleiner als die untere a. Wenn jetzt aber a < b, dann besagt diese Rechenregel, dass wir vor das Integral ein Minus-Zeichen setzen müssen, um die richtige Flächenbilanz zu erhalten. Allgemein gilt F(a) - F(b).
Wir überprüfen das formal:
F(a) - F(b)
= -F(b) + F(a)
= -(F(b) - F(a)) = -f(x)
Das Umstellen der Formel zeigt, dass diese Rechenegel rechnerisch korrekt ist. Sie ist sehr wichtig und bildet die Grundlage für die nächste Rechenregel, die Linearität, auch Produktregel gennant.Rechenregel 3.1: Linearität (Produktregel)
Wenn eine gegebene Funktion f(x), wie in Applet 2, einen konstanten Faktor enthält - hier unsere Funktion *g(x) - ist es erlaubt diese Konstante vor das Integral zu ziehen. Man kann dies mit dem Ausklammern einer Konstante Vergleichen. Diese Regel wird auch Produktregel genannt.
Forscher*innenauftrag 1 - Linearität (Produktregel) Schau dir die Funktion f(x) an und ermittle mit den Schiebereglern die Flächenbilanz im Intervall [-3,3]. Jetzt verschiebe den Schieberegler um einzelne positive oder negative Zahlenwerte. Notiere dir die einzelnen Werte und vergleiche sie untereinander. Was fällt dir bei den Werten der Flächenbilanzen auf?
Applet 2
Forscher*innenauftrag 2 - Linearität (Produktregel)
Überprüfe die Eigenschaft der Linearität von Integralen mit Hilfe der Produktregel rechnerisch.
Berechne das unten stehende Integral auf zwei Lösungswegen: Bei der 1. Rechnung integrierst Du das gesamte Integral, bei der 2. Rechnung ziehst du den Faktor vor das Integral und multiplizierst ihn zum Schluss mit Deinem Ergebnis.
Berechne:
Rechenregel 3.2: Linearität (Summenregel)
Die abgebildete Rechenregel beschreibt die "Linearität" von bestimmten Integralen. Das bedeutet, dass man ein Integral mit einer Summe in zwei einzelne Integrale aufsplitten und diese nach dem einzelnen Integrieren addieren darf. Gleiches gilt bei einer Subtraktion. Diese Regel wird daher auch als Summenregel bezeichnet.Forscher*innenauftrag 1 - Linearität (Summenregel) Das Applet 3 zeigt Dir die Funktionen f(x), g(x) und h(x). Die Summe aus den Funktionen f(x) und g(x) ist h(x). Blende die Funktion h(x) ein und ermittle die Flächenbilanz im Intervall von [-3,3]. Gemäß der Rechenregel, dass die beiden einzeln integrierten Funktionen f(x) und g(x) die gleiche Flächenbilanz ergeben blende nun h(x) aus und ermittle die beiden Flächenbilanzen von f(x) und g(x). Addiere beide Flächenbilanzen und vergleiche das Ergebnis mit der Flächenbilanz von h(x). Was hast du herausgefunden?
Applet 3
Forscher*innenauftrag 2 - Linearität (Summenregel)
Überprüfe die Eigenschaft der Linearität von Integralen rechnerisch. Berechne mit Hilfe der Summenregel das unten stehende Integral auf beiden Lösungswegen. D.h. zuerst integrierst Du das gesamte Integral, das zweite Mal splittest du die Summe in zwei Einzelintegrale auf. Du kannst Dich selbst überprüfen, denn beide Ergebnisse müssen gemäß der Summenregel übereinstimmen.
Berechne:
Rechenregel 4: Monotonie
Diese Rechenrgel besagt, wenndie Funktion f(x) kleiner/ gleich g(x) für alle x Element [a,b],
dann ist auch das berechnete Integral bzw. die Fläche von f(x) kleiner/ gleich g(x). Forscher*innenauftrag 1 - Monotonie Um das zu verstehen, betrachte in Applet 4 die Funktion k(x) = ln(x) und die Flächenbilanz im Intervall von [1,8], ln(x) ˃ 0. Checke nun die Flächenbilanz von h(x)=λ im gleichen Intervall mit λ ˃1. Wie verhalten sich die Flächenbilanzen beider Funktionen zueinander?
Applet 4
Forscher*innenauftrag 2 - Monotonie Was passiert, wenn Du den Schieberegler für λ in Applet 4 in den negativen Bereich verschiebst?
Rechenregel 5: Dreiecksungleichung
Die Rechenregel "Dreiecksungleichung" besagt, dass es einen Unterschied macht, ob wir das gesamte Integral oder nur die Funktion in Betrag nehmen. Das in Betrag gesetzte Integral ist immer als die in
Betrag gesetzte Funktion.
Quelle: Skript Mathematik für Ingenieure Uni Kiel
Beim Integral auf der linken Seite (Abb. links) werden die beiden äußeren Flächen positiv gezählt und die mittlere Fläche wird abgezogen, und die entstehende Summe ist kleiner als die Summe aller drei positiv gerechneten Flächen auf der rechten Seite (Abb. rechts). Dies begründet eigentlich nur 
, aber bei 
werden die beiden äußeren von der mittleren Fläche abgezogen, und wir haben wieder dieselbe Ungleichung. Dies lässt sich formal mit der Rechenregel 2 Monotonie herleiten.
Forscher*innenauftrag 1 - Dreiecksungleichung
Erforsche diesen Sachverhalt der Dreiecksungleichung am Applet 5. Achte darauf, dass du die Regler der Integrationsgrenzen gemäß oberer und unterer Integrationsgrenze richtig wählst. Beim Applet bedeutet das, dass die untere Integrationsgrenze a immer größer als b sein muss. Schau Dir die Flächenbilanzen von c und d an. Laut Rechenregel muss c kleiner/ gleich d sein. Überprüfe diesen Sachveralt. Applet 5
Forscher*innenauftrag 2 - Dreiecksungleichung Stimmt das denn in jedem Fall? Was passiert, wenn wir die Integrationsgrenzen vertauschen? Vertausche die Integrationsgrenzen und schau dir das Flächenverhältnis von c zu d an. Was stellst du fest? Nach unserer Regel müsste doch c kleiner/ gleich d sein. Tipp: Lässt sich hier vielleicht eine Beziehung zu Integrationsregel 2 für a < b herstellen?