Konstrukce tečen ke kružnici
Následující cvičení doplňují úlohu 3.4.1. z Metodiky výuky středoškolské matematiky.
Jak postupovat při konstruování tečny ke kružnici vedené daným bodem?
Postup 1
Naznačuje intuitivní, avšak nesprávný způsob, kdy tečnu sestrojíme tak, že pouze přiložíme pravítko ke kružnici a sestrojíme přímku vedoucí bodem , která se kružnice dotýká. Pokud si tuto přímku přiblížíme, zjistíme, že to NENÍ tečna!
Postup 2
Druhý postup ukazuje, jak správně zkonstruovat tečnu ke kružnici z daného bodu.
1. sestrojíme přímku , která prochází daným bodem a středem kružnice
2. nalezneme střed úsečky
3. sestrojíme Thaletovu kružnici nad úsečkou
4. průsečíky Thaletovy kružnice s kružnicí jsou body dotyku tečen vedených z bodu ke kružnici
Thaletova kružnice a Thaletova věta
Při konstrukci tečen využíváme Thaletovu kružnici. Následující aktivita nám pomůže vypozorovat, co říká Thaletova věta a jaké vlastnosti má Thaletova kružnice.
Pohybujte body a a pozorujte, jak se mění velikosti úhlů a .
Jakých hodnot nabývá úhel v závislosti na poloze bodu vůči kružnici ?
Úhel leží vně kružnice , leží uvnitř kružnice . Pokud bod leží na kružnici , pak je úhel vždy pravý.
Thaletova věta
Pro libovolný trojúhelník platí:
- je-li trojúhelník pravoúhlý s přeponou , pak vrchol leží na kružnici s průměrem ,
- leží-li vrchol na kružnici s průměrem , pak je pravoúhlý trojúhelník s přeponou .
Kružnici nad průměrem nazýváme Thaletova kružnice.
Proč při konstrukci tečen využíváme Thaletovu kružnici?
Tečna je přímka, která má s kružnicí právě jeden společný bod. Ten nazýváme bod dotyku. Pokud známe bod dotyku , tečnu procházející tímto bodem sestrojíme jako kolmici k úsečce , kde je střed kružnice.
Na tečně pak můžeme zvolit libovolný bod (). Trojúhelník je vždy pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu .
Podle Thaletovy věty tak platí, že vrchol leží na Thaletově kružnici s průměrem .