Arealfunktion og stamfunktion
- Forfatter
- Poul Flyvholm Jensen
På figuren er vist en funktion f(x), der er positiv, voksende og kontinuert i intervallet [a; b].
For denne funktion er defineret en arealfunktion A(x), der giver arealet mellem x-aksen og grafen for f(x) i intervallet [a; x]. Figuren kan bruges som illustration i beviset for, at A(x) er stamfunktion for f(x). Nærmere bestemt skal det bevises at:
Når man differentierer arealfunktionen, får man f(x). Det betyder netop, at A(x) må være stamfunktion til f(x).
Beviset involverer en tilvækst i arealfunktionen, som fås ved at lægge h til x-koordinaten. Ved hjælp af denne tilvækst kan man udføre beviset i tre trin:
1) Opstil en ulighed, der sammenligner det sande areal med både det mindre areal og det større areal vist i figuren.
2) Dividér uligheden igennem med h (som antages at være positiv, så uligheden ikke ændres).
3) Forklar hvad der sker med uligheden, når du lader h gå mod 0.
Til slut kan du eventuelt forklare, hvordan beviset skal ændres, hvis f(x) er aftagende eller hvis h er mindre end 0.