2027. 313.
Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert!
20x + 27y =700
||x| - |y|| = 20
__________________
Ötlet: Quora
A Műelme megoldása
Didaktikai reflexiók és módszertani megjegyzések (Műelme)
1. A vizuális reprezentáció ereje (GeoGebra-reflexió)
A feladat tisztán algebrai úton könnyen elágazások rengetegévé válhat, ahol a diákok gyakran elveszítik a fonalat vagy mechanikussá válnak. A GeoGebra-modell használata azért zseniális, mert geometriai jelentést ad az abszolút értékeknek. A ||x| -|y|| = 20 egyenlet nem más, mint négy darab félegyenes, amelyek egy folyosót/csillagot zárnak közre. A megoldás így vizuálisan az egyenes és ezen „falak” metszéspontjaiként azonnal értelmezhetővé válik.
2. Csapdahelyzetek és a szimmetria hiánya
Bár a második egyenlet, ||x| -|y|| = 20 teljesen szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra nézve, az első egyenlet 20x + 27y = 700 megtöri ezt a szimmetriát. Ezért a kapott koordináták - bár számértékeikben ismétlődnek a 300, 1100, 160, 1240 számok - nem egyszerű előjelváltásokkal adódnak egymásból. Ez jó lecke a diákoknak arra, hogy a részleges szimmetria nem jelent teljes szimmetriát a végeredményben.
3. Miért pont 4 megoldás van? (Kvalitatív elemzés)
Érdemes felhívni a figyelmet az együtthatók és a konstansok viszonyára. Az első egyenlet meredeksége m = . Mivel ez a meredekség -1 és 0 közé esik, az egyenes „laposabb”, mint a 45°-os abszolút értékű határvonalak (melyek meredeksége 1. Mivel az ibolya színű egyenes laposabb, törvényszerű, hogy a „folyosó” mind a négy határvonalát pontosan egyszer fogja metszeni. Ha az egyenes meredeksége pontosan 1 lenne, akkor előfordulhatna párhuzamosság (0 vagy végtelen megoldás).
4. Miért estek ki a negatív esetek?
Az algebrai levezetés során látható, hogy az érvényes megoldásoknál a második koordináta mindig pozitív lett. Geometriailag ez azért van, mert 20x + 27y = 700 egyenes az y-tengelyt magasan a pozitív tartományban metszi, és az x-tengelyt is messze jobb oldalon. Mivel az egyenes a felső félsíkon halad át a releváns tartományban, a negatív ágakkal való elméleti metszéspontok kívül esnek az abszolút értékes feltételek tartományán.