Lagebeziehungen von Geraden
Einleitung
Mit Hilfe dieser Seite untersuchen wir die verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum.
Die meisten Aufgaben sind mit Hilfe der Applets zu lösen. Manche jedoch auch ohne.
In jedem Fall werden Notizen benötigt, damit wir die Lösungen gut vergleichen können.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vorbereitung
Nimm dir 2 Stifte und stelle zunächst selbst verschiedene Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden dar.
Beschreibe und notiere die Lagebeziehungen möglichst genau.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Möglichkeit 1
a) Mache dich mit den Schiebereglern vertraut. Welchen Teil der Gerade verändern sie?
b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, sodass diese Lagebeziehung entsteht?
c) Es gibt hier einen Sonderfall. Finde ihn.
Applet zu Möglichkeit 1
Möglichkeit 2
a) Mache dich mit den Schiebereglern vertraut. Welchen Teil der Gerade verändern sie?
b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, damit diese Lagebeziehung entsteht?
c) Es gibt hier einen Sonderfall. Finde ihn.
Applet zu Möglichkeit 2
Möglichkeit 3
a) Bewege die Ansicht, sodass du die Geraden aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten kannst.
b) Wie unterscheidet sich diese Lage von den vorherigen?
c) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, sodass diese Lagebeziehung entsteht?
d) Ist diese Lagebeziehung auch im 2-Dimensionalen möglich? Begründe deine Antwort.
Applet zu Möglichkeit 3
Rechnerische Bestimmung der Lage von zwei Geraden in Parameterform
1. Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind
(Wie geht das nochmal? zwei Vektoren und sind kollinear, wenn ihre Komponenten komponentweise
2. Um die Lagebeziehung eindeutig zu klären, muss eine Probe durchgeführt werden:
Setze die Parameterformen gleich und bestimme die Lösungsmenge
r_1: Spurparameter t
r_2: Spurparameter s
Setze die rechten Seiten gleich und löse nach t und s (Lineares Gleichungssystem)
Es ergeben sich zwei Fälle:
1) Nicht-kollineare Richtungsvektoren
2) kollineare Richtungsvektoren
Im Falle kollinearer Richtungsvektoren kann auch verkürzt eine Punktprobe durchgeführt werden (Aufpunkt in die Parameterform einsetzen und prüfen, ob der Aufpunkt auf der anderen Geraden liegt)
- gleich Null sind (z.B. a=c=0) ODER
- die Verhältnisse der Komponenten gleich sind a:c = b:c )
| Richtungsvektoren sind nicht kollinear: | | Richtungsvektoren sind kollinear: |
| In der Ebene: Geraden müssen sich schneiden Im Raum: Geraden schneiden sich ODER sind windschief | | Geraden sind parallel ODER Geraden sind identisch |
| Lösungsmenge eindeutig => | Geraden schneiden sich in einem Punkt |
| Lösungsmenge ist leer => | Geraden sind windschief |
| Lösungsmenge leer => | Geraden sind parallel |
| Lösungsmenge allgemein (unendlich viele Lösungen) => | Geraden sind identisch |
Probiere es nun selbst aus
1) In welcher Beziehung sind die Geraden r_1: und r_2
2) Zeige, dass die Geraden r_1: und r_2: sich schneiden und bestimme den Schnittpunkt