Normales a una parábola por un punto
Por un punto P cualquiera pueden pasar 1, 2 o 3 normales a una parábola p, dependiendo de si P se halla por debajo de la evoluta w, en la evoluta o por encima de ella.
La evoluta es el lugar geométrico de los centros de curvatura y la envolvente de las rectas normales, de manera que estas son tangentes a ella.
Pulsando los botones [P ∈ p], [P ∈ w] o [P ∈ Oy] se fuerza al punto a desplazarse por la parábola p, la evoluta w o el eje Oy. Pulsando [P libre] se le puede desplazar con el ratón a cualquier parte, o bien introducir sus coordenadas en la caja de entrada [P =] de la parte superior izquierda.
Si P(u, v) está en la parábola por encima de la evoluta w, la recta s que pasa por los otros dos puntos en que las normales por P vuelven a cortar a la parábola, corta al eje de esta en un punto fijo GC, simétrico del vértice respecto de la directriz.
La cúbica que los puntos de corte con las normales queda entonces
y = 2x³ + (1 - 2u²)x - u = (x- u)(2x² +2ux +1)
que aparte del propio valor u, tiene las soluciones
x = (-u ± √(u² - 2))/2
P está en la parábola por encima de la evoluta ⇒ u² > 2
La ecuación de la recta s es entonces s: y = -ux - ½, pasando por el punto GC(0, -½) para todo valor de u tal que u² > 2. Para u² = 2, se trata de una tangente y también pasa por el mismo punto. El punto de corte con el eje OX es x = -1/(2u).
Mi agradecimiento a Francisco Javier García Capitán por la observación de las propiedades de esta recta s.
También se puede introducir la ecuación de una recta/curva en la caja de entrada [r:] de la parte inferior izquierda, y pulsar a continuación el botón [P ∈ r].