M2.IV.8 L Anwendungen: Flächen und Rauminhalte
Leitfrage zu Phase 8
Wie kann ich Flächeninhalte (*und Volumina) mit dem Integral berechnen?Teil 1: Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
Die Schülerinnen und Schüler wissen bereits, wie man den orientierten Flächeninhalt mithilfe des Integrals berechnet und kennen den zugehörigen GeoGebra Befehl 
GeoGebra Rechner Suite oder den Abitur-Prüfungsmodus GeoGebra MMS bei der Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch. Eine Auswahl an möglichen Einstiegs- sowie Übungsaufgaben finden Sie weiter unten.
Integral(Funktion, Startwert, Endwert) aus dem vorherigen Kapitel (Phase 7.2).
An dieser Stelle sollte die Unterscheidung von orientiertem Flächeninhalt als Flächenbilanz und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse wiederholt und verdeutlicht werden.
Es bietet sich nun der Einsatz von GeoGebra als Werkzeug an. Die SuS erhalten kein Applet oder Arbeitsblatt, sondern nutzen die GeoGebra Rechner Suite oder den Abitur-Prüfungsmodus GeoGebra MMS bei der Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch. Eine Auswahl an möglichen Einstiegs- sowie Übungsaufgaben finden Sie weiter unten.
Teil 2: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Auch in diesem Teil bietet sich die GeoGebra Rechner Suite oder der Abitur-Prüfungsmodus GeoGebra MMS an.
Der neue GeoGebra-Befehl
GeoGebra Rechner Suite oder der Abitur-Prüfungsmodus GeoGebra MMS an.
Der neue GeoGebra-Befehl IntegralZwischen(Funktion, Funktion, Startwert, Endwert) kann von den SuS eigenständig entdeckt oder von der Lehrkraft vorgestellt werden. Eine Auswahl an möglichen Einstiegs- sowie Übungsaufgaben finden Sie weiter unten.
In beiden Teilen kann GeoGebra eine Möglichkeit zur Differenzierung bieten. Einerseits können die SuS GeoGebra unmittelbar beim Lösen der Aufgaben als Werkzeug einsetzen. Dadurch wird die Aufgabenstellung visualisiert und der technische Rechenaufwand stark reduziert. Andererseits kann GeoGebra erst nach der Aufgabenbearbeitung genutzt werden, um Ergebnisse zu prüfen. *Teil 3 optional: Rotationsvolumen
Die SuS wissen bereits, wie man Flächeninhalte mithilfe von Integralen berechnen kann. Dabei war die Idee zentral, dass die Intervallbreite infinitesimal verkleinert - also die Anzahl der gleichbreiten Intervalle unendlich vergrößert werden muss, um den Flächeninhalt genau zu bestimmen.
Mithilfe des Applets
*M2.IV.8a App Rotationsvolumen
können die SuS entdecken, wie das Volumen von Körpern berechnet wird, die durch Rotation um die x-Achse entstehen. Dabei wird die Analogie zur Flächeninhaltsberechnung genutzt, indem eine genauere Annäherung an das Volumen durch die Verkleinerung der Intervallbreite erfolgt. Der Begriff „Rotationskörper“ kann je nach Leistungsstärke des Kurses bereits vorher erarbeitet oder erst im Nachhinein geklärt werden.
Das Entstehen eines Rotationskörpers durch Rotation des Funktionsgraphen um die x-Achse sowie das Entstehen durch Rotation um die y-Achse kann zusätzlich mithilfe des Applets
*M2.IV.8b App Entstehen eines Rotationskörpers visualisiert werden.
Das Vorgehen zur Berechnung des Rotationsvolumens in GeoGebra kann mithilfe des digitalen Arbeitsblatts
*M2.IV.8c AB Rotationsvolumen in GeoGebra
erarbeitet werden oder ohne AB eigenständig z.B. mit KI-Chat (z.B. fobizz) erarbeitet werden.
*M2.IV.8a App Rotationsvolumen
können die SuS entdecken, wie das Volumen von Körpern berechnet wird, die durch Rotation um die x-Achse entstehen. Dabei wird die Analogie zur Flächeninhaltsberechnung genutzt, indem eine genauere Annäherung an das Volumen durch die Verkleinerung der Intervallbreite erfolgt. Der Begriff „Rotationskörper“ kann je nach Leistungsstärke des Kurses bereits vorher erarbeitet oder erst im Nachhinein geklärt werden.
Das Entstehen eines Rotationskörpers durch Rotation des Funktionsgraphen um die x-Achse sowie das Entstehen durch Rotation um die y-Achse kann zusätzlich mithilfe des Applets
*M2.IV.8b App Entstehen eines Rotationskörpers visualisiert werden.
Das Vorgehen zur Berechnung des Rotationsvolumens in GeoGebra kann mithilfe des digitalen Arbeitsblatts
*M2.IV.8c AB Rotationsvolumen in GeoGebra
erarbeitet werden oder ohne AB eigenständig z.B. mit KI-Chat (z.B. fobizz) erarbeitet werden.
Zeitbedarf
ca. 2-4h
Übungen
Teil 1: Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 220-224
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale, Serie 3.8 Fläche zwischen Graphen und der x-Achse bestimmen
Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 177-180
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 205-206
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 188-189
Teil 2: Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 225-232
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale. Serie 3.9 Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen
bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale", Kapitel 3. Bestimmte Integrale. Serie 3.10 Flächen in Modellierungsaufgaben berechnen
Lambacher Schweizer, RLP, LK (2022): S. 177-180
Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 207-211
Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 190-193
*Teil 3: Rotationsvolumen
In der optionalen App-Sammlung zu Modul 2 finden Sie App-gestützte Übungsaufgaben zur Volumenberechnung