Berechnung der Kreise 2

Autor:
Walter Füchte
Thema:
Kreis, Komplexe Zahlen, Ebene Figuren, Symmetrie

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (11. März 2023) Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netz

Eine 2-teilige bizirkulare Quartik besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise, einer davon ist imaginär. In Normalform kann eine solche Quartik implizit beschrieben werden durch eine Gleichung der Form
  • mit reellen Koeffizienten und -
Die Quartik ist Achsen-symmetrisch und symmetrisch zum Einheitskreis. Nützlich für Berechnungen sind die beiden (komplexen) Funktionen mit denselben Symmetrieen
  • und
Damit lassen sich die Koeffizienten und übersichtlich angeben:
  • und
wobei , , die Brennpunkte und die Scheitel auf der -Achse sind. Für die folgenden Rechnungen betrachten wir den Fall . Unser Ziel ist die Berechnung der doppelt-berührenden Kreise im im "Inneren" der Quartik. Damit meinen wir diejenigen von der Quartik berandeten Flächenteile, welche die Brennpunkte enthalten. Die doppelt-berührenden Kreise im Inneren hüllen die Quartik ein, sie sind -achsensymmetrisch. Die konfokalen bizirkularen Quartiken mit den angegebenen Brennpunkten sind Winkelhalbierende der Kreise der beiden hyperbolischen Kreisbüschel um bzw. um . Diese Kreise schneiden die -Achse in den Punkten und bzw. in und mit zunächst beliebigen Parametern und . Die beiden Kreise schneiden sich auf irgendeiner der konfokalen Quartiken. Welche Beziehung zwischen den Parametern muß bestehen, damit die Schnittpunkte auf der vorgegebenen Quartik liegen? Ohne Beweis: die beiden Kreise schneiden sich dann und nur dann auf der Quartik, wenn aus durch Inversion am Scheitelkreis durch entsteht. Woraus und folgt. Der gesuchte doppelt-berührende Kreis im Inneren der Quartik ist dann einer der beiden Symmetriekreise der beiden Kreise aus den hyperbolischen Kreisbüscheln.
Die Berechnungen ergeben:
  • ; ist der -Wert des Schnitt- und Berührpunktes
  • Mittelpunkt des doppelt-berührenden Kreises
  • , ist der Radius des doppelt-berührenden Kreises.
Die Kreisgleichung des doppelt-berührenden Kreises zum Parameter lautet damit
Setzt man in diese Gleichung die Koordinaten eines Punktes im Inneren der Quartik ein, so erhält man für den Parameter 2 Lösungen (quadratische Gleichung!). Die zu diesen Parametern gehörenden Kreise gehen durch und sie sind doppelt-berührende Kreise! Wozu nützen diese Rechnungen? Die doppelt-berührenden Kreise im Inneren einer 2-teiligen bizirkularen Quartik erzeugen ein 6-Eck-Netz aus Kreisen dann und nur dann, wenn der Fokal-Kreis durch zugleich durch den Quartik-Scheitel auf der -Achse geht! Aus der Gleichung folgt für den zugehörigen Scheitel auf der -Achse
  • mit .
Die 6-Eck-Bedingung ist erfüllt, wenn sich die 6-Eck-Figur im 7.- Punkt schließt.
Ist der Fokalkreis zugleich Scheitelkreis, so stimmen die 3 Schnittpunkte bei bis zur 13.-Nachkommastelle überein. Dies ist angesichts der kompliziert erscheinenden Rechnungen beachtlich. Allerdings beruhen alle Berechnungen im Wesentlichen nur auf quadratischen Gleichungen!

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