Begründungen zu Fall X
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (April 2022)
3 Kreisbüschel, bzw. allgemeiner 3 W-Kurvenscharen in der Moebius-Ebene können allenfalls nur dann
ein 6-Eck-Netz bilden, wenn die 3 zugehörigen Berührorte in Kreise zerfallen.
Berührorte sind die Ortslinien, in welchen sich die Kurven aus zwei der Scharen berühren,
siehe das book-Kapitel Berührorte ... .
Es handelt sich dabei stets um bizirkulare Quartiken, im nicht-zerfallenden Fall konkret um Moebiustransformierte
der CASSINI-Kurven.
Der Zerfall der Berührorte ist eine notwendige Bedingung, jedoch nicht hinreichend für das Vorliegen eines 6-Eck-Netzes!
Das Applet oben auch zeigt Netze, für welche die 3 Berührorte in Kreise zerfallen, die jedoch die 6-Eck-Bedingung nicht
erfüllen.
Gesucht sind sämtliche 6-Eck-Netze aus 3 W-Kurvenscharen,
deren Pole aus 3*2 verschiedenen Punkten bestehen.
Wir werden in den Applets auch W-Kurvenscharen berücksichtigen, für welche 2 der Scharen dieselben Pole besitzen,
zB. ein elliptisches Kreisbüschel und das zugehörige orthogonale hyperbolische Kreisbüschel.
Grundlagen:
- 2 Kreisbüschel vom selben Typ (beide elliptisch, bzw. beide hyperbolisch) mit 4 verschiedenen Polen besitzen dann und nur dann einen in 2 Kreise zerfallenden Berührort, wenn die Pole konzyklisch sind. Die Kreise eines zerfallenden Berührortes sind orthogonal, einer der beiden Kreise kann imaginär sein. Die Loxodromenscharen der beiden elliptischen Kreisbüschel zu demselben Winkel besitzen denselben Berührort.
- 2 Kreisbüschel von unterschiedlichem Typ (eines elliptisch, das andere hyperbolisch) mit 4 verschiedenen Polen besitzen dann und nur dann einen in 2 Kreise zerfallenden Berührort, wenn die Pol-Paare spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen. Der Berührort besteht dann aus diesen beiden orthogonalen Kreisen.
Es gibt unter der Voraussetzung von 3*2 verschiedenen Polen der W-Kurvenscharen zwei Situationen,
in welchen 6-Eck-Netze entstehen:
- Im Moebiusraum schneiden sich die ACHSEN der 3 Scharen in einem PUNKT. Für die Kreise der 3 Scharen bedeutet dies: sie sind sämtlich orthogonal zu einem gemeinsamen Kreis. Dieser kann auch imaginär sein - der Achsenschnitt-PUNKT liegt im Inneren der Moebius-Quadrik. Dieser Fall ist nicht leicht zu erkennen!
- Die 3 ACHSEN der Scharen besitzen keinen gemeinsamen SCHNITTPUNKT im Moebiusraum. Zu dieser Situation gehört auch der Fall eines elliptischen und des dazu orthogonalen hyperbolischen Kreisbüschels: deren ACHSEN schneiden sich nicht. Die Applets zeigen, dass in dieser Situation 6-Eck-Netze nur für 3 Kreisbüschel vorliegen, deren Pol-Paare Punkte-Paare einer ON-Basis sind. Allgemein ergibt sich unter dieser Voraussetzung stets ein 6-Eck-Netz. Darunter sind auch Fälle, die zur erstgenannten Situation gehören.
*) Unter einer ON-Basis verstehen wir 3 Punkte-Paare, die als Schnitt von 3 paarweise orthogonalen Kreisen entstehen;
Beispiel: die -Achse, die -Achse und der Einheitskreis schneiden sich in {0,}, {1,-1}, {i,-i}.
Wird noch ergänzt.