Completar o Quadrado
Completar quadrados é uma técnica utilizada para escrever expressões do segundo grau na forma .
Essa forma vai nos facilitar [e muito] no nosso curso de GA.
Os conceitos usados aqui serão utilizados para achar as formas padrões de equações do círculo, parábolas, hipérboles e elipses.
Lembre-se de que a forma por extenso de é .
Vamos começar com um pequeno exemplo:
Na equação podemos completar o quadrado ao adicionar o termo "+16" em ambos os lados da equação:
Agora temos um produto notável do lado esquerdo da equação, que pode ser reescrito como:
Ou ainda como:
Vamos começar com um exercício básico para calibrar nossa mente:
Agora, vamos tentar completar o quadrado com uma expressão um pouquinho mais complicada.
O coeficiente de é diferente de .
Exemplo:
Como o coeficiente de é diferente de , vamos transformar esta expressão em outra, da forma .
O coeficiente de é igual a , portanto o valor de , simplificando temos .
O termo "" equivale ao termo "" na expansão de
Sabendo o valor de , podemos calcular :
O termo que completa o quadrado na expressão acima é .
A expressão vai ficar
que é igual a
Dica:
Não tente resolver tudo de cabeça, use um lápis e um pedaço de papel.
Outra maneira possível de completar o quadrado de
é colocar o em evidência para fazer com que o coeficiente do (dentro dos parênteses) fique igual a :
Não tenha medo de frações.
Agora, complete o quadrado dentro dos parênteses:
O termo que completa o quadrado é .
Agora, atenção: tudo que está entre parênteses está multiplicado por ; então você deve subtrair (fora dos parênteses) :
Tudo isto vai simplificar para
Verifique que esta expressão é igual ao resultado do exemplo anterior:
Use qualquer uma das duas estratégias para completar os quadrados abaixo.
Lembre-se de que
e de que
(com subtração em vez de adição).