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Fundamento Teórico: Conceptos Clave de la Trigonometría

Autor:Jissela Farinango
1. Conceptos de Triángulos RectángulosUn triángulo rectángulo es un tipo de triángulo que se caracteriza por tener un ángulo interno de 90 grados (un ángulo recto). Los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres específicos en relación con sus ángulos:
  • Hipotenusa: Es el lado más largo del triángulo rectángulo y siempre se encuentra opuesto al ángulo recto.
  • Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto. Dependiendo del ángulo agudo de referencia, un cateto se denomina:
    • Cateto Opuesto: Es el lado que se encuentra directamente enfrente del ángulo agudo que estamos considerando.
    • Cateto Adyacente: Es el lado que está junto al ángulo agudo que estamos considerando, sin ser la hipotenusa.
2. Teorema de PitágorasEl Teorema de Pitágoras es una de las relaciones fundamentales en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos.Si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa, la fórmula es:c2=a2+b2Este teorema es crucial para calcular la longitud de un lado desconocido en un triángulo rectángulo cuando se conocen los otros dos.3. Definición de Funciones Trigonométricas (SOH CAH TOA)Las funciones trigonométricas son razones que relacionan los ángulos agudos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Son seis en total, pero las tres principales y más usadas son el Seno, el Coseno y la Tangente. Una mnemotécnica muy útil para recordarlas es SOH CAH TOA:
  • SOH (Seno = Opuesto / Hipotenusa): El Seno de un ángulo (θ) es la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud de la hipotenusa. $ \sin(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Hipotenusa}} $
  • CAH (Coseno = Adyacente / Hipotenusa): El Coseno de un ángulo (θ) es la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de la hipotenusa. $ \cos(\theta) = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Hipotenusa}} $
  • TOA (Tangente = Opuesto / Adyacente): La Tangente de un ángulo (θ) es la razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud del cateto adyacente al ángulo. $ \tan(\theta) = \frac{\text{Cateto Opuesto}}{\text{Cateto Adyacente}} $
Funciones Recíprocas:Además de las tres funciones principales, existen sus recíprocas, que se definen como el inverso multiplicativo de las primeras:
  • Cosecante (csc): Es la recíproca del seno. $ \csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Opuesto}} $
  • Secante (sec): Es la recíproca del coseno. $ \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto Adyacente}} $
  • Cotangente (cot): Es la recíproca de la tangente. $ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{Cateto Adyacente}}{\text{Cateto Opuesto}} $
4. Resolución de TriángulosLa resolución de triángulos es el proceso de encontrar las longitudes de todos los lados y las medidas de todos los ángulos de un triángulo cuando se conocen algunos de ellos. Para triángulos rectángulos, esto se logra combinando el Teorema de Pitágoras con las funciones trigonométricas.Estrategia General:
  1. Identificar los datos conocidos: ¿Qué lados o ángulos se te proporcionan?
  2. Identificar lo que se necesita encontrar: ¿Qué lados o ángulos son desconocidos?
  3. Seleccionar la herramienta adecuada:
    • Si conoces dos lados y necesitas el tercero: Usa el Teorema de Pitágoras.
    • Si conoces un ángulo y un lado, y necesitas otro lado: Usa las funciones seno, coseno o tangente.
    • Si conoces dos lados y necesitas un ángulo: Usa las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
    • Recuerda que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180 grados, lo que te permite encontrar el tercer ángulo si conoces dos.
5. Ángulos de Elevación y Depresión (Aplicación)Aunque en los problemas específicos de este trabajo se utilizan más las relaciones de ángulos en la geometría plana de los triángulos, es importante conocer los conceptos de ángulos de elevación y depresión, ya que son aplicaciones directas de la trigonometría en problemas del mundo real.
  • Ángulo de Elevación: Es el ángulo formado por la línea horizontal de visión de un observador y la línea de visión ascendente hacia un objeto por encima de esa horizontal.
  • Ángulo de Depresión: Es el ángulo formado por la línea horizontal de visión de un observador y la línea de visión descendente hacia un objeto por debajo de esa horizontal.
Ambos ángulos son cruciales en problemas de topografía, navegación y física.

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