Isometrías
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Una exposición específica de las isometrías, desde el punto de vista geométrico, puede verse en el libro Isometrías.
Las isometrías (iso-metría, "igual medida") son transformaciones afines que conservan las longitudes. Es decir, dados dos puntos P y Q sometidos a la misma isometría, la distancia de P' a Q' es la misma que la de P a Q.
Por lo tanto, las isometrías mantienen la forma (los ángulos) y el tamaño de las figuras planas sometidas ellas. Lo único que puede variar es la posición o la orientación.
Esta característica de las isometrías se traduce en una importante propiedad en las matrices de cambio de base. Resulta que:
M=(a | b) es la matriz de cambio de base de una isometríaM es una matriz ortogonal.
Esto significa que M', la inversa de M, debe coincidir con Mt, la traspuesta de M (o, si se prefiere, el producto de M por su traspuesta es la identidad). Si llamamos Δ al determinante de M, resulta entonces que: Que es equivalente a decir que:Δ2=1 ax2+bx2=1 ay=-Δ bx by=Δ ax
Estas igualdades, juntas, condicionan fuertemente cómo ha de ser la matriz M. A partir de la segunda condición (ax2+bx2=1), se nos ocurre realizar el cambio de variable ax=cos(t), bx=sen(t), es decir, pasar a coordenadas polares. De este modo, las únicas matrices posibles toman una de estas dos formas: Observa que, en ambos casos, los vectores a y b son ortogonales y unitarios (es decir, ortonormales; esto es algo que caracteriza a las matrices ortogonales). El primer caso corresponde a Δ=1 y determinará un movimiento que conserva la orientación: el giro. El segundo corresponde a Δ=-1 y determinará un movimiento que invierte la orientación: la reflexión. Ambos tipos de movimientos, reunidos, forman el llamado grupo ortonormal, simbolizado como O(2) (el número 2 corresponde a la dimensión del plano). Nota: La conservación de la orientación según sea positivo o no el determinante de la matriz de cambio de base no es exclusiva de las isometrías, sino que es extensible a cualquier transformación afín. En la construcción, puedes elegir cada uno de estos casos. Observa que en todos ellos la imagen del cuadrado unidad sigue siendo un cuadrado unidad (no varía la forma ni el tamaño). Observa también cómo varían las orientaciones de los vectores a y b según los dos casos.Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.