6.ベクトルと平面図形
このページは電子ブック「探求 数学B・C」の一部です。
★定点と方向ベクトルで直線が決まる。
★2点から直線が決まるね。
★定点と法線ベクトルで直線がきまるね。
1.ベクトルと直線
<位置ベクトル>
原点を始点とするとき、終点Pに対してベクトルOPが定まる。これをPの位置[position]ベクトルという。
点の名前の大文字に対して、小文字でベクトルpとかく。
<分点ベクトル>
2点A,Bをm:nに内分する点Pの位置ベクトルは と成分によらず書ける。
だから、平面上だけでなく、空間内でも使える。
<重心ベクトル>
3点A,B,Cの重心ベクトルは3点に位置ベクトルの平均になる。
<3点A,B,Cが共線>
となるkがある。
<直線の方程式>
ベクトルの足し算が途中の点を省いた最短矢印であることから、
・2点A を通り方向[direction]ベクトルと平行な直線上の点Pは
とかける。
成分表示すると(x,y)=(ax+t dx, ay+ t dy) となるので、dy/dx=(y-ay)/(x-ax)
・2点A,Bを通る直線の方向ベクトルは だから、
2点ABを通る直線は となる。s=1-tとおくと 。
・2点A を通り法線[normal]ベクトルと垂直な直線上の点Pはとかける。
成分表示すると a(x-p)+b(x-q)=0(内積=0)
(例)
「三角形OABの辺OAを1:2に内分する点をC,辺OBを3:2に内分する点をDとする。ベクトルADを5/3倍に延長したベクトルをAEとし、OEとBCの2直線の交点をFとするときFC:CB」は?
EはADを5:2に外分する点になるので、小文字を点の位置ベクトルとするとd=3/5bからe=(5(3/5b)-2a)/(5-2)
=-2/3a+b。ベクトルBE=e-b=-2/3a=-2/3OAだから、BEとOAは平行となり、FC:CB=FO:OE。
fはOE上にあるからf=se=s(-2/3a+b)と、CB上にあるからb+t(BC)=b+t(c-b)=b+t(1/3a-b)=(1/3t)a+(1-t)bとおける。aとbは一次独立だから、係数比較してs,tと求めると、s=-1,t=2となる。
つまり、f=-1eということで、2ベクトルはOF=-OEから同じ長さ。FO:OE=1:1=FC:CB。
<線分の方程式>
・2点A,Bを通る直線は (s+t=1)でsもtも非負という条件をつけると、
Pは2点ABの内分点になるから、線分を表す方程式になる。
(例)
「平面上の三角形ABCと点Pについて、 (tが実数)なら点Pが三角形ABCの内部に
あるtの範囲」は?
カンタンのために、小文字のみで点の位置ベクトルを表すとa-p+2(b-a)+3(c-p)=t(b-a)となり、pについて
解くと、 となる。
t=0なら、点Pは線分ABを2:1に分ける点Qと点Cの中点。
tを動かすと、点Qの分点比が変わるが、点Pは点Cとの中点であることは変わらず。
だから、点Pは辺BCの中点と辺ACの中点を連結する直線となる。これを三角形ABCの内部に閉じ込めたい。それは、点Qが辺BCの内分になるときだ。
端を除く線分条件から、aの係数1+tとbの係数2-tが正だね。tは-1と2の間にある。
2.ベクトルの円
<円の方程式>
・ベクトルaからの距離が一定rである点Pの位置ベクトルは
これを成分で展開すると、座標を使った円の方程式になる。
絶対値の2乗は内積に等しいから、
・2点A,Bを直径とすると、円周角は直角になる。
だから、円周にある点Pに対して、ベクトルPAとPBの内積=0になる。
★三角形の面積をベクトルで求めるとカンタンだね
3.ベクトルと三角形
<三角形の不等式>
・2点A,Bを通る直線の方向ベクトルは だから、
三角形OABの周と内部は (s+tが0以上1以下で、sもtも0以上1以下)
(理由)
線分OA上の点Sはで表すことができる。
線分OB上の点Tはで表すことができる。
だから、三角形OABの周と内部の点は、線分ST上の点だから、 u+v=1でuもvも非負。
us+vt、us、vtは0以上1以下になるから。
<三角形の面積>
三角形のOABの面積は1/2|a||b|sinθ=
ベクトルa=(a,b),b=(p,q)と成分を仮定すると、
内積によるコサインの置き換えが、式の単純化に役立ったね。
<3辺の長さと内積>
三角形ABCの頂点の位置ベクトルをp,q,rとし、頂点の対辺の長さをa,b,cとする。
内積
一方で、余弦定理から、a2=b2+c2-2bccosAだから、 となる。
だから、 。頂点を入れ替えると、
<二等辺三角形と内積>
円周O上の2点A,BをとるとOA=OBで、ABの中点Mをとると、MOとABは垂直です。
だから、 底角が不明でも、
底角を起点とするのこりの頂点への2ベクトルの内積は、底辺の2乗の半分になりますね。
(例)
「AB=2√2,BC=√6,CA=2の三角形に外接する円Oをかくとき、3つの内積」は?
三角形AOB、AOCはそれぞれ二等辺三角形となる。だから、底角からの2ベクトルの内積は底辺の2乗の半分で、
3辺の長さがわかっているときは、1頂点から2ベクトルの内積は余弦定理とコラボして、