Propositie 19
In een driehoek ligt de langste zijde tegenover de grootste hoek.
Inleiding
Propositie 19 is de tweede in een reeks van 3 proposities over de relatie tussen zijden en hoeken in een driehoek. Het is de omgekeerde van propositie 18. Het bewijs verloopt via een bewijs uit het ongerijmde: Euclides elimineert alle mogelijkheden behalve de juiste. [AC] kan niet gelijk zijn aan [AB], en [AC] kan niet kleiner zijn dan [AB]. Dan blijft enkel de mogelijkheid over dat [AC] groter moet zijn dan [AB]. Een elegant voorbeeld van hoe je iets bewijst door alle alternatieven uit te sluiten.
Oude versie
In elke driehoek ligt de langste zijde tegenover de grootste hoek.
ABC is een driehoek met de hoek ABC groter dan de hoek BCA. Ik zeg dat de zijde AC ook groter is dan de zijde AB.
Als dat niet zo is, is AC ofwel gelijk aan AB ofwel kleiner.
AC is niet gelijk aan AB, want dan zou de hoek ABC ook gelijk zijn aan de hoek ACB. (prop 5)
Maar dat is niet zo. Dus is AC niet gelijk aan AB.
AC is ook niet kleiner dan AB, want dan zou de hoek ABC ook kleiner zijn dan de hoek ACB. (prop 18)
Maar dat is niet zo. Dus is AC niet kleiner dan AB.
En het werd ook bewezen dat ze niet gelijk zijn. Dus is AC groter dan AB.