三角形の極線上の点の極線が接線であることの証明
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
これで接線になることを証明できないだろうか？ 「三角形の極線上の点を極とする極線は、元の内接円錐曲線に接する」このことを証明するために極線上の点を極とする内接楕円を作図して考察する。
「Ⅾの極線上の点Ｔの極線がＤの内接楕円の接線になる」ことの証明。見やすくするために、楕円にしてそれぞれの極と極線で考察する。
証明まで数か月かかった
この定理を見つけてから数年。いろいろわかってきて、証明できそうと思ってから数か月。
三角形で考えると複雑そうなので、内接する円錐曲線で考える。
この時、Ｄの内接円錐曲線とＴの内接円錐曲線ができる。
さらに解り易くするために、二つの円錐曲線を楕円にする。
この場合、Ｔの楕円の極線かＤの楕円の極線かで異なる。
その二つの極線の間の関係を調べる。
作図がポイント
(1) ＤのＤ極線（Ｄ[D]と表す）上の点ＴのＴ極線（Ｔ[T]）を作図。
(2) Ｋは接線の交点でＴ[T]上にある。したがってＫのＴ極線はＤ[D]。
(3) Ｄ[D]とＴ[T]の交点をＺとすると、Ｚ[D]とＺ[T]がわかる。
(4) 一方Ｄ[T]とＴ[T]の交点をＲとすると、Ｒ[D]はＫを通る。
Ｋ[D]が接線であるならＫ自身を含むことを示す。
Ｚ[D]で考えると,Ｋ[D]はＺを通る。
Ｒ[D]で考えるとＫ[D]はＲを通る。
よってＫ[D]はＺＲを通るので、Ｋ[D]はＫを含む。
したがってＫ[D]はＤの楕円の接線となる。
この証明は不完全！