Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

Auteur :EstuFitria, wfeltonSAAS, Gabriela Saskia damayani, Muhammad Afrian Rangga Saputra , Cantika Putri Cahyani cantikaputri.2023, Yosi Tria Elfa

Thème :Algèbre

Pengenalan Fungsi Kuadrat menggunakan Balok Aljabar

Balok aljabar membantu kita melihat bentuk fungsi kuadrat secara visual. Setiap balok mewakili bagian dari persamaan:

balok x² sebagai area persegi besar,
balok x sebagai area persegi panjang,
balok konstanta sebagai kotak kecil.

Dengan menyusun balok-balok ini menjadi sebuah persegi atau hampir-persegi, kita dapat memahami bahwa fungsi kuadrat sebenarnya menggambarkan luas sebuah bentuk persegi. Saat balok-balok disusun hingga membentuk persegi sempurna, kita sedang melakukan proses melengkapi kuadrat (completing the square).

Eksplorasi Diskriminan dengan Grafik Kuadrat

Aplet ini memungkinkan murid memanipulasi nilai a, b, dan c dalam fungsi kuadrat

. Saat slider digerakkan, grafik parabola berubah secara langsung sehingga murid dapat melihat hubungan antara koefisien dan bentuk grafik. Di samping grafik, murid juga dapat mengikuti langkah-langkah perhitungan nilai diskriminan

serta rumus akar kuadrat:

Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat Bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah

Efek koefisien a

Jika a>0: parabola terbuka ke atas → grafik seperti “cawan”.
Jika a<0: parabola terbuka ke bawah → grafik seperti “terbalik”.
Semakin besar |a|, semakin “sempit” kurvanya (lebih curam). Semakin kecil |a| (tapi ≠0) maka kurva lebih “lebar”.

Efek koefisien b

Nilai b memengaruhi letak titik puncak terhadap sumbu y (bergerak ke kiri atau kanan).
Jika b=0, sering titik puncak berada simetris di sumbu y (jika c juga simetri).
Perubahan b juga memengaruhi sumbu simetri yang memiliki persamaan

Efek koefisien c

c adalah nilai f(0), yaitu titik potong grafik dengan sumbu y. → Jika c>0: grafik memotong sumbu y di atas titik asal (0,0). → Jika c<0: memotong di bawah asal.
Jadi perubahan c menggeser parabola vertikal (ke atas/ke bawah).

Cara Faktorisasi Untuk Mencari Akar Pada Persamaan Kuadrat

Penggunaan ilustrasi perkalian silang untuk menemukan variabel

dan konstanta serta penambahan hasil kali silang dapat mempermudah penghitungan. Yang mana didapat penghitungan awal yaitu

. Sehingga nilai dari x atas dikalikan dengan konstanta bawah dan nilai x bawah dikalikan dengan konstanta atas serta hasil kali masing-masingnya akan ditambah maka akan ditemukan persamaan yang dicari. Kemudian didapat nantinya akar penyelesaian

dan

. Kemudian untuk mencari nilai akarnya kedua penyelesaian

dan

disamadengankan sehingga

dan

, dan kemudian mencari nilai x dengan mengurangkan dan membagikan dengan angka yang sama maka akan didapat akar-akarnya yaitu

dan

. Cara penggunaan:

Isilah terlebih dahulu kotak abu–abu pada nomor 2.
Jika salah coba lagi sampai benar atau bisa klik show steps untuk melihat hasil dan .
Pada nomor 2 mencari akar-akarnya, hitunglah akar dan masukkan ke kotak abu-abu yang sudah disediakan.
Jika salah coba hitung lagi atau bisa tekan show steps untuk mencari jawaban
Jika dirasa sudah bisa, coba soal yang lebih susah dengan menekan tombol kuning di bawah kanan dan menyesuaikan dengan persamaan yang ingin diselesaikan.
Selamat mecoba.

Hubungan Akar-Akar dan Bentuk Faktor pada Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki bentuk umum:

Salah satu konsep penting dalam persamaan kuadrat adalah akar-akar persamaan serta hubungan antara persamaan kuadrat dengan bentuk faktor. File GeoGebra ini membantu murid/guru memahami hubungan tersebut secara interaktif melalui pengaturan nilai a, b, dan c. Akar-Akar Persamaan KuadratAkar-akar persamaan kuadrat diperoleh dari rumus kuadrat:

Nilai di bawah tanda akar, yaitu

disebut diskriminan, yang menentukan jenis akar: Δ > 0 → 2 akar real berbeda Δ = 0 → 2 akar real kembar Δ < 0 → tidak memiliki akar real Pada GeoGebra, kamu dapat melihat bagaimana perubahan nilai a, b, dan c memengaruhi letak akar di sumbu-x. Bentuk Faktor (Factored Form) Bentuk faktor dari persamaan kuadrat adalah:

dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan. Jika akar-akar sudah diketahui, maka bentuk faktor dapat dibangun dengan mudah. Hubungan Akar dengan Bentuk Faktor Persamaan kuadrat

dapat dikaitkan dengan akar-akar sebagai berikut:

Penjumlahan akar

Perkalian akar

Dari hubungan ini, murid dapat: memahami bagaimana koefisien b dan c memengaruhi akar dan membangun ulang bentuk faktor dari persamaan awal. Visualisasi GeoGebra Visualisasi dalam GeoGebra menampilkan:

Grafik fungsi kuadrat
Titik potong grafik dengan sumbu-x (akar-akar)
Bentuk faktor yang berubah otomatis
Koefisien a, b, c yang dapat digeser
Interaktifitas yang memperkuat intuisi konsep

Melalui interaksi ini, murid dapat melihat hubungan langsung antara grafik, akar, dan bentuk faktor. Tujuan Pembelajaran Setelah menggunakan materi dan file GeoGebra, siswa diharapkan mampu:

Menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat.
Menghubungkan akar-akar dengan bentuk faktor.
Menjelaskan hubungan antara grafik kuadrat dan akar-akar.
Menganalisis perubahan grafik berdasarkan perubahan koefisien.
Mengubah bentuk umum ke bentuk faktor, dan sebaliknya.

Menyimpulkan

Hasil Pengamatan

Setelah kalian mengubah-ubah nilai a, b, dan c dengan cara menggeser slider. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang Grafik Fungsi Kuadrat? Jawablah pertanyaan berikut! 1. Bagaimana bentuk kurva grafik saat * nilai a>0 maka kurva grafik terbuka ke ....... * nilai a<0 maka kurva grafik terbuka ke ....... * nilai a=0 maka kurva grafik berbentuk ....... 2. Dimana letak titik puncak grafik terhadap sumbu Y saat * nilai b>0 maka titik puncak grafik berada di sebelah ....... sumbu y * nilai b<0 maka titik puncak grafik berada di sebelah ....... sumbu y * nilai b=0 maka titik puncak grafik berada ....... sumbu y 3. Bagaimana titik potong grafik di sumbu Y terhadap titik O(0,0) saat *nilai c>0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada di ....... titik O(0,0) *nilai c<0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada di ....... titik O(0,0) *nilai c=0 maka titik potong grafik terhadap sumbu Y berada ....... titik O(0,0)