Kopie von Spinnwebdiagramm für geometrische Reihe
- Autor:
- Jörg Reiner, kallegfs
Es wird die unendliche Summe 1+1/2+1/4+1/8+... gebildet.
Gibt es einen Grenzwert, d.h. einen Wert, an den sich die Summe immer mehr annähert, je mehr Summanden man addiert?
Das Spinnwebdiagramm gibt Antwort:
Die einzelnen Teilsummen S(n) berechnen sich nach der Rekursions-Formel S(n)=1/2·S(n-1)+1
Aufeinanderfolgende Teilsummen haben gleiche Werte, wenn S(n)=S(n-1)
Setzt man für S(n-1) die Variable x und für S(n9 die Variable y, so ergeben sich die beiden Geradengleichungen
y=x und y=1/2·x+1
Der Schnittpunkt der beiden Geraden gibt an, wie groß die Gesamtsumme ist.
Aufgaben:
1. Mit dem Schieberegler kann man die Steigung der roten Geraden ändern. Damit ändert sich auch die x-Koordinate des Schnittpunkts F. Was gibt der entsprechende x-Wert an? Zu welcher Summe gehört dann das Ergebnis?
2. Betrachte allgemein die Summe 1+q+q²+q³+...
Welche Form hat hier die Rekursionsgleichung? Wo liegt der Schnittpunkt der Geraden? Was gib der Wert der x-Koordinate an?
3. Finde eine Formel, mit der man die schnell die Summe berechnen kann.
Bedeutung des Spinnwegdiagramms:
In der Rekursionsformal benutzt man den berechneten Wert der Teilsumme, um den nächsten Teilsummenwert zu ermitteln.
Hat man S(n)=y berechnet, wird der Wert als x=S(n-1) beim nächsten Rekursionsschritt eingesetzt. Der y- wird also zum x-Wert. Dazu geht man von einem gefundenen Punkt (zu Beginn von (0/1) aus) waagrecht bis zur grünen Gerade y=x. Dort ist man an der Stelle mit dem richtigen x-Wert angekommen, geht nun senkrecht bis zur roten Geraden und trift dort beim y-Wert auf, der den nächsten Teilsummenwert angibt.
Der Weg läuft also im Zickzack zwischen der roten und grünen Gerade weiter und endet am Schnittpunkt (allerdings erst nach unendlich vielen Schritten).
Wenn ein solcher Schnittpunkt existiert, gibt es einen endlichen Summenwert.
Fragen:
1. Was lässt sich über die Summe bei m=1 sagen?
2. Was ergibt sich für m>1?
3. Was ist mit m<0?
4. Gibt es weitere Sonderfälle?