Quadratische Gleichungen lösen
Einführung
Auf diesem Arbeitsblatt soll es um das Lösen von quadratischen Gleichungen gehen. Eine quadratische Gleichung ist dabei eine Gleichung, in der "irgendwo ein x²" auftaucht. Verboten sind höhere Potenzen wie zum Beispiel x³. Ein Beispiel wäre
Manchmal taucht x² auch auf beiden Seiten der Gleichung auf:
Im Allgemeinen bringen wir die Formel in die normalisierte Form und fassen alle Terme mit zusammen wie auch alle Terme mit und alle normalen Zahlen. Damit erhalten wir die allgemeine Form von quadratischen Gleichungen:1. Quadratische Gleichungen erkennen
Hier wurden ein paar Gleichungen noch nicht normalisiert. Kannst du sie trotzdem bestimmen? Bei welchen der folgenden Gleichungen handelt es sich um quadratische Gleichungen?
2. Drei Wege, die Gleichung zu lösen!
Im folgenden soll es nun darum gehen, wie man diese quadratische Gleichung lösen kann (also wie man heraus findet, für welche Werte von sie wahr ist.):
mit zwei beliebigen Zahlen p und q.
Die drei Typen
Grundsetzlich können p und q auch Null sein. Und so kann man drei verschiedene Typen von Gleichungen unterscheiden:
Schaue nun in den folgenden Aufgaben, ob du die drei Typen schon erkennen kannst!
| | Typ 1, weil kein "mittlerer x-Term" enthalten ist, also |
| | Typ 2, weil "nur ein mittlerer x-Term" enthalten ist, also |
| | Typ 3, weil "x-Term und Zahl" enthalten sind |
4. Von welchem Typ ist diese Gleichung?
a)
b)
c)
d)
e)
5. Löse die Gleichungen vom Typ 1. (Strategie 1)
Nun kennst du die drei möglichen Typen, in denen die quadratische Gleichung auftreten kann.
Schauen wir den ersten Typ an.
Hier haben wir einen Teil und eine ganz normale Zahl. Hier ein Beispiel:
Aus wird im ersten Schritt, wenn wir die Zahl auf die andere Seite bringen, zu:
und nach dem zweiten Schritt (Wurzel ziehen) erhalten wir:
Und damit können wir zwei mögliche Lösungen angeben:
Schaue in den folgenden Aufgaben, ob du es selber schaffst!
Beachte dabei alles, was du bereits über das Wurzel ziehen weißt!
Insgesamt also machen wir 2 Äquivalenzumformungen für den Typ 1:
- die Zahl auf die andere Seite der Gleichung bringen (erste Äquivalenzumformung)
- dann die Wurzel ziehen (zweite Äquivalenzumformung)
Probier' es selber aus - Typ 1
6. Löse Gleichungen vom Typ 2 (Strategie 2)
Klasse! Somit hast du Typ 1 schon kennen gelernt. Der Typ 2 sieht so aus (zur Erinnerung):
Nehmen wir als Beispiel . So haben wir:
Wir können das ausklammern:
Und jetzt können wir ablesen, dass diese Gleichung stimmt, wenn entweder
, weil ist,
oder aber
, weil
ist. Und damit finden wir die Nullstellen:
Aus die erste Nullstelle:
und aus die zweite, indem wir die auf die andere Seite bringen: und damit
.
Wenn wir also Typ 2 erkennen können, müssen wir
- einmal ausklammern
- und dann ablesen.
Probier' es selber aus - Typ 2
7. Löse Gleichungen vom Typ 3 mit der p/q-Formel
Die pq-Formel noch einmal zur Erinnerung: Für die Gleichung der Form
Haben wir im Unterricht die p/q Formel der Lösungen hergeleitet. Sie gilt allgemein für alle p und q:
und
Wenn du in den folgenden Beispielen die p/q Formel einsetzt, achte darauf, ob die Zahl unter der Wurzel vielleicht negativ wird. Wenn das der Fall ist, gibt es wie immer keine Lösung.
Deine Strategie für Gleichungen vom Typ 3 ist also:
- Lies p und q aus der Formel ab
- Setze sie in die p/q Formel ein (auswendig lernen!)
Probier' es selber aus - Typ 3
8. Zusammenfassung
Heute hast du drei verschiedene Strategien geübt, um quadratische Gleichungen zu lösen:
- Typ 1: auf die andere Seite bringen und Wurzel ziehen
- Typ 2: Ausklammern und ablesen
- Typ 3: die p/q Formel anwenden.