Lingkaran dan elips
Lingkaran dan garis singgung elips
Diketahui elips . Buktikan bahwa himpunan titik-titik A, di luar elips, di mana kedua garis singgung elips dari A saling tegak lurus merupakan lingkaran .
Penyelesaian:
Pertama akan ditunjukkan buktinya menggunakan GeoGebra.
Untuk melihat kebenaran bahwa himpunan titik-titik di luar elips di mana kedua garis singgung elips dari titik tersebut saling tegak lurus merupakan sebuah lingkaran, lakukan aktivitas berikut ini.
- Gunakan slider a atau b (geser titiknya) untuk mengubah-ubah nilai a atau b. Perhatikan apa yang terjadi dengan elips, titik-titik A, B, dan C, serta kedua garis singgungnya.
- Gerakkan (pindahkan) titik A (atau Klik tombol Play). Perhatikan apa yang terjadi dengan elips, titik-titik singgung B dan C, serta kedua garis singgungnya. Klik tombol Reset (panah melingkar) untuk menghapus jejak titik A.
Garis-garis singgung elips yang saling tegak lurus
Ketika Anda mengubah nilai a atau b (menggerakkan titik pada slider a atau b), apa yang terjadi dengan elips dan persamaannya?
Ketika Anda mengubah nilai a atau b (menggerakkan titik pada slider a atau b), apa yang terjadi dengan titik A?
Dapatkah Anda menggerakkan atau memindah titik A secara bebas? Mengapa (syarat apa yang harus dipenuhi oleh titik A)?
Ke mana Anda dapat menggerakkan (memindah) titik A?
Berupa apa jejak (lintasan) titik A? Bagaimana hubungan persamaan lintasan titik A dan persamaan elips?
Bukti analitik
- Persamaan elips yang diberikan adalah .
- Misalkan titik di luar elips dan dua garis singgung elips dari titik A saling tegak lurus.
- Misalkan garis singgung elips yang melalui memiliki gradien .
- Maka, persamaan garis singgungnya adalah .
- Karena garis ini menyinggung elips, maka berlaku atau atau .
- Ini merupakan persamaan kuadrat dalam untuk mencari titik singgung. Artinya persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu penyelesaian, sehingga diskriminannya harus nol. Artinya, atau .
- Jika dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam , maka solusinya adalah dan dengan .
- Karena dan merupakan gradien kedua garis singgung yang saling tegak lurus, maka sehingga .
- Karena dipilih sebarang, maka lokus adalah yang memenuhi , yang merupakan persamaan lingkaran.