Pasos previos a la demostración de la conjetura
- Autor:
- José Luis Muñoz Casado
Antes de atacar la demostración, sería conveniente introducir al alumnado en dos proposiciones sobre los que se va a sustentar: la 3-coloración de los vértices de una triangulación y el principio del efecto dominó(o principio de inducción).
- 3-coloración de los vértices de una triangulación
Cuando en la hoja de GeoGebra marcamos la casilla Ver triangulación, la sala poligonal mostrada queda dividida automáticamente en varios triángulos. Los vértices están todos pintadosde azul; 1 o 2 clics sobre ellos permite cambiarlos de color: 1 clic cambia a rojo, 2 cambia a verde y 3 vuelve al azul. Cuando un triángulo tiene sus vértices de color diferente, este queda marcado automáticamente con un color que lo resalta. Una vez que tengamos todos los triángulos resaltados, escogeremos el color que se haya empleado menos veces para pintar los vértices de la sala. Así, por ejemplo, en la Figura 5, solo hemos empleado el color verde en 3 ocasiones. Si colocamos una cámara en todos los vértices de color verde, tendremos vigilada la totalidad de la sala poligonal.
Por supuesto, esta actividad se ocupa solo de un caso particular y no puede sostener una afirmación general, sin embargo, ilustra la estrategia que vamos a adoptar con nuestros alumnos para demostrar la conjetura. Para completar dicha estrategia necesitaremos extender la 3-coloración al caso general; es aquí donde entra en juego el efecto dominó o principio de inducción.
- El principio del efecto dominó El principio de efecto dominó establece que, si se coloca un conjunto cualquiera de fichas de dominó de pie, una detrás de otra, todas las fichas del conjunto caen si se cumplen las dos condiciones siguientes: