Ripasso Goniometria
Cose fondamentali:
1) Tutta la goniometria riguarda una circonferenza di raggio 1. Per capire la maggior parte delle cose bisogna disegnarla o averla davanti.
2) La calcolatrice va settata in radianti.
3) In questa attività ci occupiamo solo degli angoli tra 0 e 2 (0 incluso, 2 escluso)
Nella prima animazione vediamo che ad ogni angolo (compreso tra 0 e 2) con vertice nell'origine O, corrisponde una diversa posizione del punto P, che ruota sulla circonferenza. Mentre il punto P si muove, cambia l'angolo e cambiano le coordinate del punto P. Si può quindi stabilire una corrispondenza tra gli angoli e le coordinate di P.
Ad esempio, quando l'angolo vale 0 radianti la x di P vale 1 e la y di P vale 0 (puoi controllare nell'animazione)
Controllo funzione
Quali delle seguenti corrispondenze sono vere? (Puoi controllare usando la precedente animazione)
Nel prossimo grafico, ci sono le IMPORTANTISSIME definizioni geometriche delle funzioni SENO e COSENO. Cliccando sul punto P e trascinandolo, si vede come le funzioni seno e coseno sono semplicemente le coordinate di P, che a sua volta si trova sulla circonferenza in una posizione data dall'angolo
Collegando il punto P con l'origine e con la sua proiezione sull'asse delle ascisse (xP) si ottiene il triangolo rettangolo Tr (tranne quando P si trova sugli assi ovviamente). I quadrati di seno e coseno di rappresentano le aree dei quadrati costruiti sui cateti che, per il teorema di Pitagora, sommate danno il quadrato costruito sull'ipotenusa. Ma l'ipotenusa è il raggio, che vale 1, quindi si ha l'identità fondamentale:
Tenendo conto della definizione di seno e coseno e dei 4 quadranti (indicati nel grafico con i numeri romani), e non considerando gli assi cartesiani come parte dei quadranti, indica quali delle seguenti affermazioni sono vere:
Nel prossimo grafico invece vedremo la definizione geometrica della tangente di un angolo.
Le coordinate di P c'entrano, ma lo vedremo alla fine.
Gli elementi importanti sono due rette e un punto:
- la prima retta è quella che passa per P e per l'origine, che forma con l'asse delle ascisse l'angolo .
- La seconda retta è invece una retta verticale tangente alla circonferenza e passante per il punto B(1,0).
- Il punto è il punto T, intersezione tra le due rette.
La tangente dell'angolo è la y del punto T (la sua x invece è sempre 1).
Il coefficiente angolare della retta che passa per T e per l'origine è, se ricordate la formula:
ma le coordinate dell'origine sono entrambe zero, e la , quindi in definitiva
Questo è il primo risultato importante: la tangente di un angolo esprime il coefficiente angolare della retta passante per l'origine che forma quell'angolo con l'asse delle x.
Lo stesso discorso si potrebbe fare per il punto P (anche lui si trova sulla stessa retta). In questo caso il coefficiente angolare diventerebbe:
Anche in questo caso le coordinate dell'origine sono zero, mentre le coordinate di P abbiamo già visto cosa rappresentano. Quindi
Secondo risultato importante: la tangente può essere definita anche come rapporto tra seno e coseno.
In base all'ultima definizione di tangente di un angolo, indica quali delle seguenti affermazioni sono vere: