1. 二次三项式的值是完全平方数问题
这是一个初等数学考试中经常考到的难题：二次三项式的值是完全平方数，求二次三项式中未知数的值或最值。在这里，我们先只考虑的简单情况。即：
式（1）
设，使用配方法，得到：
当且时，二次三项式的值为完全平方数。根据题意，将设带入方程，消元得：
式（2）
当式（2）成立时，式（1）为完全平方数。
的值或最值问题即转化为求解函数的值或最值问题。
例：的值为完全平方数，求的最大值。
解：
据式（2），得
式（3）
由式（3）得函数图像（Fig. 1）可知，该函数在定义域内为单调增函数。在时，有最大值250000.