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Sección 2.1 - La potencia de un punto con respecto al círculo

Teorema 2.11

Si dos rectas a través de un punto P encuentran a un círculo en los puntos A y A' (posiblemente coincidiente) y B, B' (posiblemente coincidiente), respectivamente, entonces . Demostración: Consideremos la siguiente figura
Comparemos los triángulos y . Estos dos triángulos son semejantes ya que comparten el ángulo P por ser opuestos por el vértice, y ya que inscriben el mismo arco. Entonces, podemos tomar la siguiente proporción: , al cual multiplicar cruzado obtenemos . Consideremos la siguiente figura:
Podemos utilizar los triángulos similares PAT y PTA' para obtener: y al multiplicar cruzado obtener

Teorema 2.12

Sean O e I el circuncentro e incentro, respectivamente, de un triángulo con circunradio R e inradio r; sea d la distancia OI. Entonces: . Demostración: Sea R el radio del círculo y d la distancia desde P al centro. Tomando BB' como el diametro en P (con B más lejos de P que B'), observamos que si P está dentro del círculo como en la primera figura, entonces , y si P está fuera (como en la segunda figura), , lo que nos deja con: . Miremos esta última figura:
Esta figura muestra el bisector interno de , extendido para encontrar al circuncírculo en , el punto medio del arco sin contener a . Entonces es el diámetro perpendicular a . Por conveniencia, denotamos y . Notemos que y . Como el ángulo exterior de en I es , es isósceles: . Por lo tanto, O sea, , como quisimos probar.

Potencia de P

Para cualquier círculo de radio y cualquier punto con distancia del centro, llamamos a la potencia de P. Esta potencia es positiva si está fuera del círculo, es cero cuando se encuentra en la circunferencia, y es negativa cuando está adentro. Si está afuera, tenemos la expresión alternativa . Si está adentro, tenemos la expresión alternativa .