Sección 2.1 - La potencia de un punto con respecto al círculo
Teorema 2.11
Si dos rectas a través de un punto P encuentran a un círculo en los puntos A y A' (posiblemente coincidiente) y B, B' (posiblemente coincidiente), respectivamente, entonces .
Demostración: Consideremos la siguiente figura
Comparemos los triángulos y . Estos dos triángulos son semejantes ya que comparten el ángulo P por ser opuestos por el vértice, y ya que inscriben el mismo arco.
Entonces, podemos tomar la siguiente proporción:
, al cual multiplicar cruzado obtenemos .
Consideremos la siguiente figura:
Podemos utilizar los triángulos similares PAT y PTA' para obtener:
y al multiplicar cruzado obtener
Teorema 2.12
Sean O e I el circuncentro e incentro, respectivamente, de un triángulo con circunradio R e inradio r; sea d la distancia OI. Entonces: .
Demostración:
Sea R el radio del círculo y d la distancia desde P al centro. Tomando BB' como el diametro en P (con B más lejos de P que B'), observamos que si P está dentro del círculo como en la primera figura, entonces
, y si P está fuera (como en la segunda figura),
, lo que nos deja con: .
Miremos esta última figura:
Esta figura muestra el bisector interno de , extendido para encontrar al circuncírculo en , el punto medio del arco sin contener a . Entonces es el diámetro perpendicular a . Por conveniencia, denotamos y . Notemos que
y .
Como el ángulo exterior de en I es , es isósceles: .
Por lo tanto,
O sea, , como quisimos probar.
Potencia de P
Para cualquier círculo de radio y cualquier punto con distancia del centro, llamamos a
la potencia de P.
Esta potencia es positiva si está fuera del círculo, es cero cuando se encuentra en la circunferencia, y es negativa cuando está adentro.
Si está afuera, tenemos la expresión alternativa .
Si está adentro, tenemos la expresión alternativa .