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Polar-Tetraeder Sechsecke Fall X

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Juli 2019)

Sechs Kreisbüschel, deren Achsen im ein Polartetraeder sind, erzeugen ein Sechs-Eck-6-Netz. Drei der Achsen schneiden sich innerhalb der Kugel, und sie sind paarweise orthogonal (bezüglich der MOEBIUS-Form). Die drei anderen Achsen sind jeweils die Polar-Geraden. Durch eine geeignete MOEBIUS-Transformation kann man erreichen, dass die drei schneidenden Achsen die Koordinatenachsen sind. Durch jeden Punkt P, der nicht auf den Koordinaten-Ebenen liegt, gehen aus jedem der 6 Kreisbüschel genau ein Kreis. Projiziert man diesen Punkt P und die 6 Kreise in -Richtung auf die -Ebene, erhält man das ebene Bild oben links. Begründung: Die projizierten Kreise der 6 Kreisbüschel kann man beschreiben als Niveaulinien der 6 Funktionen:
  • .
Die im Inneren des Einheitskreises verlaufenden Kurvenbögen sind das Bild des Gewebes auf der MOEBIUS-Quadrik. Die CREMONA-Transformation bilden das projizierte Gewebe ab auf die sechs Geradenbüschel
  • ,
womit nachgewiesen ist, dass je 3 der 6 Kreisbüschel ein Sechs-Eck-Gewebe erzeugen. In der Regel sind die anderen Kreisbüschel k e i n e Diagonal-Kurven! In einigen dieser Fälle schneiden sich die Achsen im Raum in einem Punkt: Fall (I). Berühr-Orte der Kreisbüschel sind die 3 orthogonalen "Kreise" .
Drei hyperbolische Kreisbüschel. Die Achsen der Büschel sind orthogonal, sie liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik nicht schneidet. Sie besitzen im keinen gemeinsamen Punkt: es existiert kein Kreis, der auf allen Kreisen des Netzes senkrecht steht!
Ein hyperbolisches, zwei elliptische Kreisbüschel. Die Achsen sind orthogonal und besitzen keinen gemeinsamen Punkt im .

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