Maxwell-Boltzmann-féle sebességeloszlási törvény

Autor:Éder Ottó, geomatech_sandor_csanyi

Az emberek különbözőek, eltérő teljesítményekre képesek, ám szokás a csoportokat átlagos adatokkal jellemezni. Gondolj csak az osztályod tanév végi átlageredményére! A gázrészecskék sokasága is ilyen. Más-más sebességgel mozognak, ám lehet azokat átlagos adatokkal jellemezni, az átlagolást többféleképpen lehet elvégezni. A gázrészecskék sebességeloszlásának vizsgálatával többen is foglalkoztak, közülük Maxwell és Boltzmann eredményeit vizsgáljuk közelebbről.

Mit látunk az interaktív alkalmazáson?

A panelen látható a gázrészecskék legvalószínűbb sebessége (v_p), átlagos sebessége (v_átl) és effektív sebessége (a sebességek négyzetei átlagának négyzetgyöke, v_eff), valamint annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott gázrészecske sebessége a kiválasztott sebességtartományba esik (P).

A rajzlapon látható a sűrűségfüggvény, rajta pontok jelölik a fontosabb sebességeket: a legvalószínűbb sebesség sárga, az átlagos sebesség barna és az effektív sebesség kék. A halványkék terület a kiválasztott sebességtartományt jelöli, területe a sebességtartomány valószínűsége.

Előismeretek

A kiindulási egyenlet szerint:

. Egy adott energiával rendelkező részecskék száma így számítható ki az összes részecskére vonatkozó adatokból. Levezetés után kapható, hogy a sebességvektor nagyságának p valószínűség- sűrűsége:

. Ha a függvényt a sebesség szerint deriváljuk, és megkeressük a derivált zérushelyét, akkor a legvalószínűbb sebességét kapjuk vissza:

. Az átlagos sebesség a részecskék sebességeinek matematikai átlaga:

. Az effektív sebesség

1. feladat

Vizsgáljuk meg a nitrogén gázrészecskéinek eloszlását!

1.1. feladat

Olvasd le a legvalószínűbb, az átlag és az effektív sebességet a kiindulási 25 °C-on!

1.2. feladat

Növeld a hőmérsékletet 100 °C-ra! Mekkora lesz a legvalószínűbb sebesség?

1.3. feladat

A hőmérséklet növelésével hogyan változik a legvalószínűbb sebesség és annak valószínűsége (megvalósulási sűrűsége)?

1.4. feladat

Állj vissza 25 °C-ra, és vizsgáld meg, hogy a részecskéknek hány százaléka mozog 0 és 100 m/s, 100 és 200 m/s, 200 és 300 m/s és 300 valamint 400 m/s közötti sebességgel!

1.5. feladat

0 m/s-tól kezdve mekkora sebességig vegyük bele az összegzésbe a részecskéket, hogy az összes részecske fele benne legyen?

2. feladat

Most vizsgáljunk egy nagyobb moláris tömegű gázt, a szén-dioxidot!

2.1. feladat

Állítsd a moláris tömeget 44 g/mol-ra! Mi történik a sebességeloszlási görbével?

2.2. feladat

Olvasd le most a legvalószínűbb sebességet!

2.3. feladat

Hasonlítsd össze a szén-dioxid és a nitrogén esetén a maximális valószínűség-sűrűségi értékeket!

Kapcsolódó érdekességek

James Clerk Maxwell (1831–1879) skót matematikus és fizikus. Munkásságából leginkább az elektromos és mágneses mező leírását végző egyenletek a híresek. Emellett foglalkozott a gázrészecskék mozgásának leírásával is. Einstein azt tartotta róla, hogy Newton óta a legalaposabb és legtermékenyebb fizikus volt. Ludwig Boltzmann (1844–1906) osztrák fizikus. Munkássága a statisztikus fizika körére célzott. Szerepet játszott a hőtan második főtételének megfogalmazásában, a feketetest sugárzásának leírásában. Nevét viseli a Boltzmann-állandó és a Boltzmann-tényező.

A Maxwell-Boltzmann-féle eloszlás tanulmányozható az alábbi filmben látható kísérleti eszközzel is.