Teorema de Ptolomeo. Demostración

Autor:
almugebra
Teorema de Ptolomeo: En un cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. Esto es, dado un cuadrilátero cíclico ABCD, es decir, un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, cuyos lados (consecutivos) son a, b, c y d y sus diagonales son e y f, entonces a.c+b.d = e.f
Si marcas "Dos ángulos iguales", verás que dos ángulos que abarcan el mismo radio de circunferencia son iguales. Marcando además "Resto de ángulos", podrás ver los ángulos equivalentes entre los lados del cuadrilátero ciclico y sus diagonales, están coloreados igual y se llaman igual. Puedes mover los cuatro puntos del cuadrilátero y ver que las igualdades entre ángulos se mantienen. Si mueves el deslizador R, harás la circunferencia más pequeña para poder ver la construcción de la derecha que demuestra el Teorema. Si marcas Triángulos semjantes 1, verás dos triángulos semejantes, el de la izquierda es el mismo que el del interior de la circunferencia pero con todos los lados multiplicados por a. Puedes desmarcar los ángulos para ver más claro el dibujo. Si marcas triángulos semejantes 2, verás otros dos triángulos semejantes, el segundo es igual que el interior a la circunferencia pero multiplicado por b. Si marcas Triángulos semejantes 3, verás que ef es el lado que falta del paralelogramo que forman estos dos triángulos, porque este triángulo es equivalente a otro dentro de la circunferencia pero multiplicado por f. Marca paralelogramo para ver el paralelogramo que forman los tres triángulos. Al tratarse de un paralelogramo, los lados paralelos son iguales, por lo tanto a.d+b.d = e.f