Zusammenhänge 2
Der Geradenraum ist - projektiv betrachtet - eine komplexe projektive Ebene mit einer nicht-ausgearteten Quadrik .
Wir könnten nun diese projektive Ebene mit denselben Begriffen beschreiben, wie sie für die reelle projektive Ebene verwendet werden. Wir vermuten sicher zu Recht, dass die Deutung des Geradenraums der Möbiusebene als komplexe projektive Ebene mit denselben Begriffen "Punkt", "Gerade" zu einer heillosen Verwirrung der geometrischen Sachverhalte führen würde.
Wir verdeutlichen den Unterschied durch Verwendung von Majuskeln und erklären:
- Ein PUNKT P ist ein komplex-eindimensionaler Unterraum von : P = mit einem erzeugenden Vektor . Wir verwenden für das Erzeugnis die Symbole , um Verwechslungen mit dem LIE-Produkt zu vermeiden.
- Die PUNKTE P auf der Quadrik werden repräsentiert von Berührgeradenvektoren mit .
- GERADEN G sind komplex-2-dimensionale Unterräume von . Es gibt nur 2 Arten von GERADEN:
- solche, die in 2 PUNKTEN schneiden, der zu G gehörende Unterraum besteht dann aus allen Vektoren mit ,
- und TANGENTEN mit nur einem SCHNITTPUNKT P = . Der Unterraum besteht dann aus allen , das sind die Infinitesimalen , die als einem Pol besitzen.
- Der POL einer GERADEN bezüglich der Form ist der PUNKT
- Die VERBINDUNGSGERADE G zweier PUNKTE ist .
- Der SCHNITTPUNKT zweier GERADEN ist .
- Die POLARGERADE eines PUNKTES P = ist .