Bizirkulare Quartiken - Die Formeln
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene (17.Juni 2021)
Zusammenhänge - in Kurzfassung: Eine komplex-differenzierbare Funktion , welche einer elliptischen Differentialgleichung des Typs genügt- mit
- mit linearem , quadratischem und reellen Koeffizienten.
Die Formeln:
Die impliziten Gleichungen der bizirkularen Quartiken In Normalform:
- mit , und .
- : 2-achsige Kegelschnitte;
- : 2-achsige Kegelschnitte, invertiert am Einheitskreis;
- : 2-teilige bizirkulare Quartiken;
- : 1-teilige bizirkulare Quartiken.
Bemerkungen:
Das Applet oben verwendet die angegebenen Formeln, die Fallunterscheidungen erfordern
mitunter aufwendigen Einsatz der Logik.
Obwohl im geogebra-Handbuch angegeben wird, dass geogebra komplexe Zahlen nicht unterstützt,
kann man die fantastische Fähigkeit von geogebra, zwischen reellen und komplexen Funktionen zu
unterscheiden, sehr produktiv nutzen:
- sind die Radikanden erkennbar reell, so ergeben sich für negative Radikanden keine Lösungen;
- für erkennbar komplexe Radikanden dagegen, zB. mit dem Trick , werden auch komplexe Lösungen
angezeigt!
Leider sind in geogebra keine elliptischen Funktionen implementiert: man kann weder die Weierstraßsche -Funktion
noch die Jacobischen elliptischen Funktionen in geogebra so anzeigen, wie es etwa für , oder möglich ist
- siehe das Kapitel Spezielle komplexe Funktionen.
Die konfokalen bizirkularen Quartiken lassen sich daher nicht wie konfokale Kegelschnitte mit Hilfe solcher komplexer
Funktionen darstellen.
Ein Hinweis zu dem Zusammenhang zwischen konfokalen bizirkularen Quartiken und Kreisbüscheln:
Kreisbüschel lassen sich durch eine Differentialgleichung des Typs charakterisieren.
Die "Brennpunkte" sind die (komplexen) Büschel-Grundpunkte. Fallen sie zusammen, ist das Büschel parabolisch.
Eine elliptische Differentialgleichung läßt sich auf mehrfache Weise aus 2 Kreisbüschel-Differentialgleichungen erzeugen!
Stichwort: winkelhalbierend! siehe das Kapitel Lineare Vekorfelder.