Darboux Cycliden: Die Formeln 2

Autor:
Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (April 2021) verbessert 25.04. Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebra-books Moebiusebene

1-teilige Darboux Cycliden besitzen in Normalform eine implizite Gleichung des Typs:
mit reellen . Die Cycliden sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen, die für die Berechnungen wieder als komplexe Zahlenebenen betrachtet werden. Man vergleiche dazu die Seite Darboux Cycliden: die Formeln über 2-teilige Cycliden. Auch 1-teilige Cycliden treten immer zusammen mit einer Schar konfokaler Cycliden auf. Die Schnitte mit den Koordinatenebenen sind 1-teilige bizirkulare Quartiken, deren Brennpunkte auf den Achsen (*) Quadrupel des Typs bilden mit . Die Schneitelpunkte auf den Achsen: Aus berechnet man die Scheitelpunkte , , und mit die Scheitelpunkte auf der -Achse. Die Brennpunkte: Mit berechnet man beispielsweise: , siehe (*). Auf jeder der 3 Achsen liegen je 2 der Brennpunkte der zugehörigen Koordinatenebenen; insgesamt sind es wieder 3*4 Brennpunkte. Umgekehrt berechnet man aus dem Scheitel und dem Brennpunkt die Koeffizienten , und damit . Konfokale Cycliden: Sind zu einer Darboux Cyclide die Koeffizienten und damit die Brennpunkte berechnet, so erhält man durch Vorgabe eines Scheitelpunktes, beispielsweise auf der -Achse, die Koeffizienten der konfokalen Cycliden:
  • und .
Die Fokal-Kurven berechnet man, indem einer der anderen Brennpunkte auf einer Achse als Scheitelpunkt gewählt wird: beispielsweise wähle man in der -Ebene zu den Brennpunkten (s.o) den Scheitelpunkt auf der -Achse. Nähert sich ein Scheitelpunkt einem solchen Brennpunkt, so verflacht die zugehörige Cyclide zu einem Flächenstück mit der zugehörigen Fokal-Kurve als Randkurve. Die Fokal-Kurven schneiden die Achsen in Brennpunkten. Die einzelnen Cycliden einer konfokalen Schar werden stets nur von einer der 3 Fokal-Kurven geschnitten. Die Schnittpunkte sind die "Brennpunkte" auf den Cycliden: in diesen Punkten entstehen oder verschwinden die Kreise auf den Cycliden! Siehe die Aktivität circles on darboux cyclides 1-sheet.
Bemerkung(en): Sofern keine Rotationssymmetrie vorliegt, existieren 3 verschiedene Fokal-Kurven, in jeder Koordinatenebene je eine. Jede Cyclide einer solchen Schar von konfokalen Darboux Cycliden wird von einer der Fokal-Kurven in 4 Punkten geschnitten. Diese Punkte sind die "Brennpunkte" auf der Fläche. Auf Cycliden diesen Typs existieren 2 Kreisscharen. Die Kreise einer dieser Kreisscharen beginnen in einem der Fokal-Kurven-Schnittpunkte und verschwinden in einem "gegenüberliegenden Brennpunkt" vergleiche circles on darboux cyclides 1-sheet. Auf 1-teiligen Darboux Cycliden gibt es nicht mehr als 2 verschiedene Kreisscharen, und daher existieren auf diesen Flächen keine 6-Eck-Netze aus Kreisen!
konfokale 1-teilige Darboux Cycliden erstellt mit obigem Applet

Formeln_2_verb1teilig

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