Véletlen felezőpontok

A probléma:

Legyen adott az ABC háromszög, továbbá P0  a sík egy tetszőleges pontja! Képezzük a P0, P1, ... Pn-1, Pn,  ... pontsorozatot úgy, hogy  Pn legyen  a Pn-1V szakasz felezőpontja, ahol V a háromszög  csúcsai közül véletlenszerűen választott pont. (Ezt a választást minden lépésben megismételjük.) Milyen megállapítások tehetők a kapott pontsorozatról?

Dr. Szilassi Lajos

Amikor először hallottam erről a problémáról, azt gondoltam, hogy a háromszöglap bármely pontja egyenlő valószínűséggel fordulhat elő a pontsorozatban. De ha ez így lenne, akkor nem lenne érdekes ez a probléma, és - bizonyára - nem említette volna meg nekem Szilassi tanár úr. Ez után arra gondoltam, hogy modellezni kellene a problémát a GeoGebrával. Akadályba ütköztem, mert nem tudtam véletlen pontsorozatot generálni. A segítség - mint ahogy szokott - a probléma felvetőjétől érkezett:
  • A pontok véletlen generálását a bal alsó sarokban levő gombra kattintva lehet elindítani.
  • A generálást ugyanerre kattintva lehet megállítani.
  • A háromszög csúcsainak elmozdításával lehet újra kezdeni a pontsorozat létrehozását.
  • Ha türelmesek vagyunk, és elég sokáig várunk akkor eljuthatunk a sejtéshez.
Ismerős az ábra, amit kaptunk? Láttunk már ilyet valahol?

Sejtés

Annak valószínűsége, hogy vizsgált pontsorozat majdnem minden tagja eleme az Sierpinski-háromszögének, 1.
Most már "csak" a fenti sejtés bizonyítása maradt hátra ...

Gondolatok a bizonyításhoz:

  • Annak valószínűsége, hogy a pontsorozat minden tagja az külső pontja nulla.
  • Ha a sorozat egy tagja az belső pontja, akkor az azt követő tagok mindegyike belső pont.
  • Ha egy csúcs és egy pont által megadott szakasz felezőpontját vesszük, akkor a csúcsra vonatkozó arányú középpontos hasonlóságot alkalmazunk.
  • Mi az háromszöglap valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?
  • Mi az így kapott kép valamelyik csúcsra vonatkozó középpontos hasonlósággal kapott képe?
  • Segíthet a következő?
Image

Tóth Julianna tanárnő gondolatai a problémáról

Image

"Négypontosítva"