Richtingsvelden

Auteur:Frans Malgo

In dit hoofdstuk wordt bij een differentiaalvergelijking een plaatje gemaakt: het zogenaamde richtingsveld of lijnelementenveld. Door in zo'n richtingsveld krommen te schetsen krijg je een globale indruk van het gedrag van de oplossingen van het model. In dit practicum tekent het programma Geogebra richtingsvelden bij differentiaalvergelijkingen die je hiervoor bent tegengekomen of die in het vervolg een rol zullen spelen. Het richtingsveld geeft steeds een indruk van de vorm van de oplossingskrommen van de differentiaalvergelijking. In Geogebra kun je eenvoudig de gevolgen onderzoeken van veranderingen van de startwaarde of van de waarden van de constanten in de vergelijking.

De eerste differentiaalvergelijking die je gaat onderzoeken beschrijft een logistisch groeimodel:

Teken in onderstaand venster het richtingsveld met behulp van het commando (Invoer...):

Laat in hetzelfde scherm een aantal oplossingskrommen tekenen bij verschillende startwaarden. Gebruik hiervoor het commando

Wat gebeurt er als je 0 als startwaarde neemt? Of 100?

Beschrijf het gedrag van oplossingen die een startwaarde groter dan 100 hebben.

Welke gedrag vertonen oplossingen die een negatieve startwaarde hebben?

Bekijk nu de opstelling hierboven: Verander van 0.5 in 0.9. Welke invloed heeft dit op het richtingsveld en op de vorm van de oplossingskrommen?

Onderzoek wat er gebeurt met het richtingsveld en met de oplossingen wanneer je een negatieve waarde kiest voor

We bekijken wederom de zelfde vergelijking maar nog iets algemener: In de vorige opgave was gelijk aan 100. Verander deze waarde in 200 en bekijk het effect.

Wat gebeurt er als de waarde van negatief is?

In de volgende vragen kijken we naar de differentiaalvergelijking

Voer in de applet hieronder de differentiaalvergelijking in en teken het richtingsveld voor

. Gebruik hiervoor de commando's

zoals in vorige opdrachten.

Laat de oplossingskromme tekenen. Aan welke krommen doen de geschetste oplossingen je denken? Controleer door differentiëren of je vermoeden juist is.

Onderzoek het effect van het vergroten van de waarde van .

Hoe verandert de vorm van de oplossingen als de waarde van negatief is?

In de volgende vragen kijken we naar de differentiaalvergelijking

Voer in de applet hieronder de differentiaalvergelijking in en teken het richtingsveld voor

. Gebruik hiervoor de commando's

zoals in vorige opdrachten.

Welke rechte lijnen passen mooi in het richtingsveld?

Welke invloed heeft de startwaarde op de vorm van de grafiek van de oplossing?

Wat gebeurt er als je de waarde van verandert?

Ga na dat de invloed van de waarde van vergelijkbaar is met de vorige vraag.

Stel dat de groei van omgekeerd evenredig is met , ofwel: Onderzoek het richtingsveld en de oplossingen van deze differentiaalvergelijking.

Richtingsvelden

Nieuw didactisch materiaal

Ontdek materiaal

Ontdek onderwerpen